解説

方針・初手

外接円の半径が $1$ であるから、正弦定理より各辺の長さは

$$ a=2\sin\alpha,\quad b=2\sin\beta,\quad c=2\sin\gamma $$

と表せる。これを面積公式や $r=\dfrac{S}{s}$ に代入して処理するのが基本方針である。

解法1

**(1)**

三角形の面積は

$$ S=\frac12bc\sin\alpha $$

である。

ここで外接円の半径が $1$ なので、正弦定理より

$$ b=2\sin\beta,\quad c=2\sin\gamma $$

である。したがって

$$ S=\frac12\cdot 2\sin\beta\cdot 2\sin\gamma\cdot \sin\alpha =2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma $$

となる。

**(2)**

$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ のとき、$\beta+\gamma=\pi-\alpha=\dfrac{5\pi}{6}$ である。

（1） より

$$ S=2\sin\frac{\pi}{6}\sin\beta\sin\gamma =\sin\beta\sin\gamma $$

であるから、和 $\beta+\gamma$ が一定のもとで $\sin\beta\sin\gamma$ を最大にすればよい。

積和公式を用いると

$$ \sin\beta\sin\gamma =\frac12{\cos(\beta-\gamma)-\cos(\beta+\gamma)} $$

であり、$\beta+\gamma=\dfrac{5\pi}{6}$ より

$$ \sin\beta\sin\gamma =\frac12\left\{\cos(\beta-\gamma)-\cos\frac{5\pi}{6}\right\} =\frac12\left\{\cos(\beta-\gamma)+\frac{\sqrt3}{2}\right\} $$

となる。

ここで $\cos(\beta-\gamma)\leqq 1$ であるから、

$$ S\leqq \frac12\left(1+\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{2+\sqrt3}{4} $$

である。等号は $\beta-\gamma=0$、すなわち $\beta=\gamma$ のとき成立する。

よって、$S$ の最大値は

$$ \frac{2+\sqrt3}{4} $$

である。

**(3)**

$\alpha=\beta$ とおく。$\alpha=\beta=x$ とすると

$$ \gamma=\pi-2x\qquad \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right) $$

である。

このとき各辺は

$$ a=b=2\sin x,\quad c=2\sin(\pi-2x)=2\sin 2x=4\sin x\cos x $$

となる。

また、（1） より面積は

$$ S=2\sin x\sin x\sin(\pi-2x) =2\sin^2x\sin 2x =4\sin^3x\cos x $$

である。

半周長を $s$ とすると

$$ s=\frac{a+b+c}{2} =\frac{2\sin x+2\sin x+4\sin x\cos x}{2} =2\sin x(1+\cos x) $$

であるから、内接円の半径 $r$ は

$$ r=\frac{S}{s} =\frac{4\sin^3x\cos x}{2\sin x(1+\cos x)} =\frac{2\sin^2x\cos x}{1+\cos x} $$

となる。ここで $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)$ を用いると

$$ r=2\cos x(1-\cos x) $$

を得る。

$t=\cos x$ とおくと $0<t<1$ であり、

$$ r=2t(1-t)=-2\left(t-\frac12\right)^2+\frac12 $$

となる。したがって最大値は

$$ \frac12 $$

であり、そのとき $t=\dfrac12$、すなわち $\cos x=\dfrac12$ より

$$ x=\frac{\pi}{3} $$

である。ゆえに $\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{3}$、すなわち正三角形のとき最大となる。

解説

この問題の要点は、外接円の半径が与えられているときに正弦定理から辺を角で表せることである。

（2） では $\beta+\gamma$ が一定なので、$\sin\beta\sin\gamma$ の最大は $\beta=\gamma$ のときに生じる。これは対称性からも自然である。

（3） では内接円の半径に対して $r=\dfrac{S}{s}$ を使うのが基本である。面積と半周長をともに $x$ で表せば、最後は二次関数の最大値の問題に帰着する。

答え

**(1)**

$$ S=2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma $$

**(2)**

$$ S_{\max}=\frac{2+\sqrt3}{4} $$

**(3)**

$$ r_{\max}=\frac12 $$

であり、そのとき $\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{3}$ である。