解説

方針・初手

左辺を $x=\cos \theta$ の式に直して、$-1\le x\le 1$ における方程式の実数解の個数を調べる。

そのあと、$\cos\theta=x$ が $0\le \theta<2\pi$ で何個の解をもつかに戻せばよい。

解法1

$x=\cos\theta$ とおくと、与式は

$$ \cos 3\theta-\cos 2\theta+3\cos\theta-1=\alpha $$

であるから、三倍角・二倍角の公式より

$$ (4x^3-3x)-(2x^2-1)+3x-1=\alpha $$

すなわち

$$ 4x^3-2x^2=\alpha $$

となる。よって

$$ f(x)=4x^3-2x^2=2x^2(2x-1) \qquad (-1\le x\le 1) $$

とおいて、$f(x)=\alpha$ の解の個数を調べればよい。

まず増減を調べる。

$$ f'(x)=12x^2-4x=4x(3x-1) $$

したがって、

• $-1\le x\le 0$ では $f'(x)>0$ なので増加
• $0\le x\le \dfrac13$ では $f'(x)<0$ なので減少
• $\dfrac13\le x\le 1$ では $f'(x)>0$ なので増加

である。

各節点での値は

$$ f(-1)=-6,\qquad f(0)=0,\qquad f\left(\frac13\right)=-\frac{2}{27},\qquad f(1)=2 $$

であるから、$y=f(x)$ の値の動きは

• $[-1,0]$ で $-6$ から $0$ まで増加
• $\left[0,\dfrac13\right]$ で $0$ から $-\dfrac{2}{27}$ まで減少
• $\left[\dfrac13,1\right]$ で $-\dfrac{2}{27}$ から $2$ まで増加

となる。

よって、$f(x)=\alpha$ の $x$ の個数は次のように分類できる。

**(i)**

$\alpha<-6$ または $\alpha>2$ のとき

$$ x\text{ は存在しない} $$

したがって $\theta$ の個数は $0$ 個である。

**(ii)**

$\alpha=-6$ のとき

$$ x=-1 $$

のみであり、$\cos\theta=-1$ を満たす $\theta$ は

$$ \theta=\pi $$

のみであるから、$1$ 個である。

**(iii)**

$-6<\alpha<-\dfrac{2}{27}$ のとき

$[-1,0]$ の増加部分でちょうど $1$ 個の $x$ をもち、それは $-1<x<0$ にある。

したがって $\cos\theta=x$ の解は $0\le \theta<2\pi$ で $2$ 個である。

**(iv)**

$\alpha=-\dfrac{2}{27}$ のとき

$x=\dfrac13$ があり、さらに $[-1,0]$ にも $1$ 個の解がある。よって $x$ は $2$ 個ある。

しかもどちらも $-1<x<1$ にあるから、それぞれに対して $\theta$ は $2$ 個ずつ存在する。したがって合計 $4$ 個である。

**(v)**

$-\dfrac{2}{27}<\alpha<0$ のとき

3つの単調区間それぞれでちょうど1個ずつ解をもつので、$x$ は $3$ 個ある。

しかもすべて $-1<x<1$ にあるから、各 $x$ に対して $\theta$ は $2$ 個ずつ存在する。したがって合計 $6$ 個である。

**(vi)**

$\alpha=0$ のとき

$$ 2x^2(2x-1)=0 $$

より

$$ x=0,\quad \frac12 $$

である。

$\cos\theta=0$ の解は

$$ \theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2} $$

の $2$ 個、$\cos\theta=\dfrac12$ の解は

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3} $$

の $2$ 個である。したがって合計 $4$ 個である。

**(vii)**

$0<\alpha<2$ のとき

$x$ は $\dfrac13<x<1$ にただ1個あり、実際には $x>\dfrac12$ である。

したがって $\cos\theta=x$ の解は $2$ 個である。

**(viii)**

$\alpha=2$ のとき

$$ x=1 $$

のみであり、$\cos\theta=1$ を満たす $\theta$ は

$$ \theta=0 $$

のみであるから、$1$ 個である。

解説

この問題の要点は、三角関数の方程式をそのまま扱わず、まず $x=\cos\theta$ と置いて三次関数のグラフの問題に直すことである。

そのうえで、$x$ の個数をそのまま $\theta$ の個数と取り違えないことが重要である。一般に $-1<x<1$ なら $\cos\theta=x$ の解は $2$ 個あるが、$x=\pm1$ のときだけ解は $1$ 個になる。この端点処理が分類の差になる。

答え

$0\le \theta<2\pi$ において

$\cos3\theta-\cos2\theta+3\cos\theta-1=\alpha$

を満たす $\theta$ の個数は、

$$ \begin{cases} 0 & (\alpha<-6,\ 2<\alpha),\\ 1 & (\alpha=-6,\ \alpha=2),\\ 2 & \left(-6<\alpha<-\dfrac{2}{27},\ 0<\alpha<2\right),\\ 4 & \left(\alpha=-\dfrac{2}{27},\ \alpha=0\right),\\ 6 & \left(-\dfrac{2}{27}<\alpha<0\right) \end{cases} $$

である。