解説

方針・初手

$\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を用いて，方程式を $\sin x$ だけの式に直す。

その後，$t=\sin x$ とおけば $-1\le t\le 1$ の範囲での二次方程式の解の個数に帰着できる。最後に，$\sin x=t$ の $0\le x<2\pi$ における解の個数を数えればよい。

解法1

与えられた方程式は

$$ \cos^2 x+2a\sin x-a-1=0 $$

である。ここで $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を代入すると，

$$ 1-\sin^2 x+2a\sin x-a-1=0 $$

すなわち

$$ \sin^2 x-2a\sin x+a=0 $$

となる。

ここで

$$ t=\sin x \qquad (-1\le t\le 1) $$

とおくと，

$$ t^2-2at+a=0 $$

を満たす $t$ の個数を調べればよい。

さらに，この式を $a$ について解くと

$$ a(2t-1)=t^2 $$

より，

$$ a=\frac{t^2}{2t-1}\qquad \left(t\ne \frac12\right) $$

となる。したがって，関数

$$ f(t)=\frac{t^2}{2t-1}\qquad \left(-1\le t\le 1,\ t\ne \frac12\right) $$

の値域を調べれば，$-1\le t\le 1$ における解の個数が分かる。

$f'(t)$ を求めると，

$$ f'(t)=\frac{2t(t-1)}{(2t-1)^2} $$

である。よって，$-1\le t\le 1$ において

• （i） $-1\le t\le 0$ では $f'(t)\ge 0$ で増加
• （ii） $0\le t<\dfrac12$ では $f'(t)\le 0$ で減少
• （iii） $\dfrac12<t\le 1$ では $f'(t)\le 0$ で減少

となる。

また，各区間での値は

$$ f(-1)=-\frac13,\qquad f(0)=0,\qquad f(1)=1 $$

であり，さらに

$$ \lim_{t\to (1/2)^-}f(t)=-\infty,\qquad \lim_{t\to (1/2)^+}f(t)=+\infty $$

である。

したがって，$-1\le t\le 1$ における方程式 $t^2-2at+a=0$ の解の個数は次のようになる。

$t$ は $0<t<\dfrac12$ にただ1つ

• （i） $a<-\dfrac13$ のとき

$t=-1,\ \dfrac13$ の2つ

• （ii） $a=-\dfrac13$ のとき

$t$ は $-1<t<0$ に1つ，$0<t<\dfrac12$ に1つ，計2つ

• （iii） $-\dfrac13<a<0$ のとき

$t=0$ の1つ

• （iv） $a=0$ のとき

解なし

• （v） $0<a<1$ のとき

$t=1$ の1つ

• （vi） $a=1$ のとき

$t$ は $\dfrac12<t<1$ にただ1つ

• （vii） $a>1$ のとき

ここで，$\sin x=t$ の $0\le x<2\pi$ における解の個数は，

• $-1<t<1,\ t\ne 0$ なら2個
• $t=0$ なら $x=0,\pi$ の2個
• $t=1$ なら $x=\dfrac{\pi}{2}$ の1個
• $t=-1$ なら $x=\dfrac{3\pi}{2}$ の1個

であるから，求める $x$ の個数は

• （i） $a<-\dfrac13$ のとき　2個
• （ii） $a=-\dfrac13$ のとき　3個
• （iii） $-\dfrac13<a<0$ のとき　4個
• （iv） $a=0$ のとき　2個
• （v） $0<a<1$ のとき　0個
• （vi） $a=1$ のとき　1個
• （vii） $a>1$ のとき　2個

となる。

解説

$\cos^2 x$ を $1-\sin^2 x$ に直すことで，三角方程式が $\sin x$ に関する二次方程式になる。すると本質は，$-1\le \sin x\le 1$ という制約のもとで二次方程式が何個の解をもつか，という問題になる。

ただし，$\sin x=t$ の解の個数は $t$ の値によって異なる。特に $t=\pm1$ では1個，それ以外の $-1<t<1$ では基本的に2個である。この対応を最後に正しく数えることが重要である。

答え

$0\le x<2\pi$ における異なる実数解の個数は，

$$ \begin{array}{c|c} aの範囲 & 解の個数 \\ \hline a<-\dfrac13 & 2 \\ a=-\dfrac13 & 3 \\ -\dfrac13<a<0 & 4 \\ a=0 & 2 \\ 0<a<1 & 0 \\ a=1 & 1 \\ a>1 & 2 \end{array} $$