解説

方針・初手

$t=\cos\theta-\sin\theta$ と置かれているので、まず $t$ の値域を求める。

次に

$$ t^2=(\cos\theta-\sin\theta)^2 $$

から $\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表せば、$f(\theta)$ は $t$ の3次式になる。

最後は、その3次関数を $-\sqrt2\le t\le 1$ の範囲で調べ、さらに1つの $t$ に対して対応する $\theta$ の個数も数えればよい。

解法1

**(1)**

$t$ の値域を求める。

$$ t=\cos\theta-\sin\theta=\sqrt2\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。

ここで $0\le \theta\le \pi$ より

$$ \frac{\pi}{4}\le \theta+\frac{\pi}{4}\le \frac{5\pi}{4} $$

となる。

区間 $\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right]$ における $\cos$ の最大値は $\dfrac{\sqrt2}{2}$、最小値は $-1$ であるから、

$$ -\sqrt2\le \sqrt2\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\le 1 $$

すなわち

$$ -\sqrt2\le t\le 1 $$

である。

**(2)**

$f(\theta)$ を $t$ の式で表す。

まず

$$ \begin{aligned} t^2 &=(\cos\theta-\sin\theta)^2 \\ &=\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta \\ &=1-2\sin\theta\cos\theta \end{aligned} $$

より、

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{1-t^2}{2} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=2(\cos^3\theta-\sin^3\theta) \\ &=2(\cos\theta-\sin\theta)(\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta) \\ &=2t(1+\sin\theta\cos\theta) \\ &=2t\left(1+\frac{1-t^2}{2}\right) \\ &=t(3-t^2) \end{aligned} $$

よって

$$ f(\theta)=-t^3+3t $$

である。

**(3)**

$f(\theta)=k$ を満たす $\theta$ の個数を調べる。

（i） まず、$t$ に関する方程式の解の個数を調べる。

（2） より

$$ f(\theta)=k \iff -t^3+3t=k $$

であり、ただし $t$ の範囲は

$$ -\sqrt2\le t\le 1 $$

である。

ここで

$$ y=-t^3+3t $$

とおくと、

$$ \frac{dy}{dt}=3(1-t^2) $$

であるから、$-\sqrt2\le t\le -1$ では減少し、$-1\le t\le 1$ では増加する。

また、

$$ y(-\sqrt2)=-\sqrt2,\qquad y(-1)=-2,\qquad y(1)=2 $$

である。

したがって、$-\sqrt2\le t\le 1$ において $y=-t^3+3t$ の値の変化は

$$ -\sqrt2\ \to\ -2\ \to\ 2 $$

となる。よって、$-t^3+3t=k$ の $t$ の個数は次のようになる。

**(ii)**

$k<-2$ または $k>2$ のとき、$t$ は存在しない。

**(iii)**

$k=-2$ のとき、$t=-1$ のみである。

**(iv)**

$-2<k<-\sqrt2$ のとき、$-\sqrt2<t<-1$ に1個、$-1<t<1$ に1個、合計2個である。

**(v)**

$k=-\sqrt2$ のとき、$t=-\sqrt2$ と、$-1<t<1$ にある1個の、合計2個である。

**(vi)**

$-\sqrt2<k\le 2$ のとき、$-1<t\le 1$ にただ1個である。

（vii） 次に、1つの $t$ に対して対応する $\theta$ の個数を調べる。

$$ t=\sqrt2\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

であり、$\dfrac{\pi}{4}\le \theta+\dfrac{\pi}{4}\le \dfrac{5\pi}{4}$ だから、

• $-1<t\le 1$ のとき、対応する $\theta$ は1個
• $-\sqrt2<t\le -1$ のとき、対応する $\theta$ は2個
• $t=-\sqrt2$ のとき、対応する $\theta$ は1個

である。

これを （i） ～ （vi） と合わせると、$f(\theta)=k$ を満たす $\theta$ の個数は

$$ \begin{cases} 0 & (k<-2,\ 2<k),\\ 2 & (k=-2),\\ 3 & (-2<k<-\sqrt2),\\ 2 & (k=-\sqrt2),\\ 1 & (-\sqrt2<k\le 2) \end{cases} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$t=\cos\theta-\sin\theta$ と置いた以上、$f(\theta)$ をそのまま $\theta$ で追うのではなく、$t$ の関数に直して考えることである。

実際、

$$ \cos^3\theta-\sin^3\theta =(\cos\theta-\sin\theta)(\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta) $$

と因数分解でき、さらに $t^2=1-2\sin\theta\cos\theta$ から $\sin\theta\cos\theta$ も $t$ で表せるので、自然に3次関数 $-t^3+3t$ に帰着する。

ただし、最後に求めるのは $t$ の個数ではなく $\theta$ の個数である。$t=\cos\theta-\sin\theta$ は $0\le\theta\le\pi$ で1対1ではないので、同じ $t$ に対して $\theta$ が2個対応する範囲があることに注意する必要がある。

答え

**(1)**

$$ -\sqrt2\le t\le 1 $$

**(2)**

$$ f(\theta)=t(3-t^2)=-t^3+3t $$

**(3)**

$f(\theta)=k$ を満たす $\theta$ の個数は

$$ \begin{cases} 0 & (k<-2,\ 2<k),\\ 2 & (k=-2),\\ 3 & (-2<k<-\sqrt2),\\ 2 & (k=-\sqrt2),\\ 1 & (-\sqrt2<k\le 2) \end{cases} $$

である。