解説

方針・初手

$x=\sin\theta$ とおくと、$\theta$ の範囲が $-\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ であるから

$$ -1\leqq x\leqq 1 $$

である。

また、この区間では $\sin\theta$ は単調増加であるから、$\theta$ に関する問題を $x$ に関する問題に直して考えるのが自然である。特に、方程式 $f(\theta)=a$ の解の個数は、区間 $[-1,1]$ における方程式 $g(x)=a$ の解の個数と一致する。

解法1

まず

$$ \cos 2\theta = 1-2\sin^2\theta = 1-2x^2 $$

より、

$$ f(\theta)=4\cos 2\theta \sin\theta +3\sqrt{2}\cos 2\theta -4\sin\theta $$

に $x=\sin\theta$ を代入すると

$$ \begin{aligned} f(\theta) &=4(1-2x^2)x+3\sqrt{2}(1-2x^2)-4x \\ &=4x-8x^3+3\sqrt{2}-6\sqrt{2}x^2-4x \\ &=-8x^3-6\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2} \end{aligned} $$

となる。

したがって、以後

$$ g(x)=-8x^3-6\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2}\qquad (-1\leqq x\leqq 1) $$

とおく。

（1） $f(\theta)$ を $x$ で表す

上で求めた通り、

$$ f(\theta)=-8x^3-6\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2} $$

である。

（2） 最大値・最小値とそのときの $\theta$

$g(x)$ を微分すると

$$ g'(x)=-24x^2-12\sqrt{2}x=-12x(2x+\sqrt{2}) $$

となる。

よって、停留点は

$$ x=0,\quad x=-\frac{\sqrt{2}}{2} $$

である。

そこで、区間 $[-1,1]$ において $x=-1,-\dfrac{\sqrt{2}}{2},0,1$ での値を調べる。

$$ g(-1)=8-3\sqrt{2} $$

$$ g\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =-8\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3-6\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+3\sqrt{2} =2\sqrt{2} $$

$$ g(0)=3\sqrt{2} $$

$$ g(1)=-8-3\sqrt{2} $$

したがって、

$$ \max f(\theta)=3\sqrt{2},\qquad \min f(\theta)=-8-3\sqrt{2} $$

である。

次に、そのときの $\theta$ を求める。

最大値 $3\sqrt{2}$ は $x=0$ のときであるから、

$$ \sin\theta=0 $$

より

$$ \theta=0 $$

である。

最小値 $-8-3\sqrt{2}$ は $x=1$ のときであるから、

$$ \sin\theta=1 $$

より

$$ \theta=\frac{\pi}{2} $$

である。

（3） 方程式 $f(\theta)=a$ が相異なる $3$ つの解をもつための $a$ の範囲

$f(\theta)=a$ は、$x=\sin\theta$ により

$$ g(x)=a\qquad (-1\leqq x\leqq 1) $$

と同値である。

ここで $\sin\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ で単調増加であるから、$\theta$ の相異なる解の個数は $x$ の相異なる解の個数と一致する。

$g'(x)=-12x(2x+\sqrt{2})$ の符号を調べると、

• $-1\leqq x<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ では $g'(x)<0$
• $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<x<0$ では $g'(x)>0$
• $0<x\leqq 1$ では $g'(x)<0$

となる。

したがって、$g(x)$ は

• $[-1,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}]$ で減少
• $[-\dfrac{\sqrt{2}}{2},0]$ で増加
• $[0,1]$ で減少

する。

各区間での値域は

$$ [2\sqrt{2},\,8-3\sqrt{2}],\qquad [2\sqrt{2},\,3\sqrt{2}],\qquad [-8-3\sqrt{2},\,3\sqrt{2}] $$

である。

水平線 $y=a$ がこの 3 つの単調区間それぞれと 1 回ずつ交われば、解はちょうど 3 個になる。そのためには

$$ 2\sqrt{2}<a\leqq 8-3\sqrt{2} $$

であればよい。

実際、

• $a=2\sqrt{2}$ では $x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ が重なってしまい、相異なる解は 2 個になるので除く。
• $a=8-3\sqrt{2}$ では $x=-1$ と、他に 2 個の解をもち、相異なる解は 3 個である。

よって求める範囲は

$$ 2\sqrt{2}<a\leqq 8-3\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の本質は、$x=\sin\theta$ とおくことで三角関数の問題を $[-1,1]$ 上の三次関数の問題に直す点にある。

特にこの問題では $4\cos 2\theta \sin\theta$ と $-4\sin\theta$ が打ち消し合い、式がかなり簡単になる。すると、最大・最小は微分で処理でき、さらに方程式の解の個数も三次関数の増減から図形的に判断できる。

（3） では「$\theta$ の個数」を直接追うよりも、「$\sin\theta$ がこの区間で 1 対 1 である」ことを使って $x$ の個数に置き換えるのが重要である。

答え

**(1)**

$$ f(\theta)=-8x^3-6\sqrt{2}x^2+3\sqrt{2}\qquad (x=\sin\theta) $$

**(2)**

最大値は

$$ 3\sqrt{2} $$

で、そのとき

$$ \theta=0 $$

最小値は

$$ -8-3\sqrt{2} $$

で、そのとき

$$ \theta=\frac{\pi}{2} $$

**(3)**

方程式 $f(\theta)=a$ が相異なる $3$ つの解をもつための $a$ の範囲は

$$ 2\sqrt{2}<a\leqq 8-3\sqrt{2} $$