解説

方針・初手

$t=\sin\theta+\cos\theta$ とおくと、

$$ t^2=(\sin\theta+\cos\theta)^2 $$

を展開することで $\sin\theta\cos\theta$ を $t$ で表せる。 さらに

$$ \sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

と変形すると、$0\leqq \theta\leqq \pi$ における $t$ の範囲と、各 $t$ に対して $\theta$ が何個対応するかが分かる。 これを用いて （3） は $t$ の二次方程式に直して処理する。

解法1

**(1)**

$t=\sin\theta+\cos\theta$ より、

$$ t^2=(\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta $$

であるから、

$$ t^2=1+2\sin\theta\cos\theta $$

したがって、

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2} $$

である。

**(2)**

$$ t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) $$

と変形する。

ここで $0\leqq \theta\leqq \pi$ であるから、

$$ \frac{\pi}{4}\leqq \theta+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5\pi}{4} $$

となる。したがって、$\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ の値の範囲は

$$ -\frac{\sqrt{2}}{2}\leqq \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\leqq 1 $$

である。よって、

$$ -1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

となる。

（3） 与えられた方程式

$$ 2\sin\theta\cos\theta-2(\sin\theta+\cos\theta)-k=0 $$

に （1） の結果と $t=\sin\theta+\cos\theta$ を代入すると、

$$ 2\cdot \frac{t^2-1}{2}-2t-k=0 $$

すなわち

$$ t^2-2t-(k+1)=0 $$

を得る。

よって $t$ は

$$ t=1\pm \sqrt{k+2} $$

である。

ただし、$t$ が定まっても $\theta$ の個数は一定ではない。 $ t=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ において、$\theta+\frac{\pi}{4}$ は $\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]$ を動くから、

• $-1\leqq t<1$ のとき、$\theta$ は $1$ 個
• $t=1$ のとき、$\theta$ は $2$ 個
• $1<t<\sqrt{2}$ のとき、$\theta$ は $2$ 個
• $t=\sqrt{2}$ のとき、$\theta$ は $1$ 個

となる。

以下、各 $k$ について調べる。

**(i)**

$k=1$ のとき

$$ t^2-2t-2=0 $$

より、

$$ t=1\pm \sqrt{3} $$

である。 このうち

$$ 1+\sqrt{3}>\sqrt{2} $$

なので不適であり、

$$ t=1-\sqrt{3} $$

のみが $-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ を満たす。しかも

$$ -1<1-\sqrt{3}<1 $$

であるから、対応する $\theta$ は $1$ 個である。

**(ii)**

$k=1-2\sqrt{2}$ のとき

$$ t^2-2t+2(\sqrt{2}-1)=0 $$

であり、

$$ t=1\pm \sqrt{3-2\sqrt{2}} $$

となる。ここで

$$ 3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^2 $$

より、

$$ t=1\pm (\sqrt{2}-1) $$

すなわち

$$ t=\sqrt{2},\quad t=2-\sqrt{2} $$

である。 $t=\sqrt{2}$ に対して $\theta$ は $1$ 個、また

$$ 0<2-\sqrt{2}<1 $$

より $t=2-\sqrt{2}$ に対しても $\theta$ は $1$ 個である。 したがって合計 $2$ 個である。

**(iii)**

$k=-1.9$ のとき

$$ t^2-2t+0.9=0 $$

より、

$$ t=1\pm \sqrt{0.1}=1\pm \frac{1}{\sqrt{10}} $$

である。

ここで

$$ 1-\frac{1}{\sqrt{10}}<1 $$

であり、また

$$ 1+\frac{1}{\sqrt{10}}<\sqrt{2} $$

であるから、両方とも $-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ に入る。

さらに、

$$ -1<1-\frac{1}{\sqrt{10}}<1 $$

なので $t=1-\frac{1}{\sqrt{10}}$ に対して $\theta$ は $1$ 個、

$$ 1<1+\frac{1}{\sqrt{10}}<\sqrt{2} $$

なので $t=1+\frac{1}{\sqrt{10}}$ に対して $\theta$ は $2$ 個である。

したがって合計 $3$ 個である。

解説

この問題の要点は、$\sin\theta+\cos\theta$ を単なる置換で終わらせず、$\theta$ の範囲 $0\leqq \theta\leqq \pi$ のもとで、その値域と対応する $\theta$ の個数まで確認することである。

（3） では $t$ の二次方程式を解くだけでは不十分であり、その解が （2） の範囲 $-1\leqq t\leqq \sqrt{2}$ に入るかどうか、さらに各 $t$ に対して $\theta$ が何個あるかを判定しなければならない。ここを落とすと個数を誤る。

答え

**(1)**

$$ \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2} $$

**(2)**

$$ -1\leqq t\leqq \sqrt{2} $$

**(3)**

方程式の個数は

$k=1$ のとき　$1$ 個

$k=1-2\sqrt{2}$ のとき　$2$ 個

$k=-1.9$ のとき　$3$ 個