解説

方針・初手

まず

$$ t=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

とおくと，

$$ \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}} $$

であるから，$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x$ を $t$ で表せる。

さらに $\sin 2x$ も

$$ 2x=2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{2} $$

を用いて $t$ の式に直せば，$f(x)$ は $t$ の2次式になる。 あとはその2次式を区間 $-1\le t\le 1$ で調べれば，最大値・最小値も，方程式 $f(x)=a$ の解の個数も整理できる。

解法1

**(1)**

$f(x)$ を $t$ の式で表す。

$t=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ より

$$ \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{2}} $$

であるから，

$$ \sin x-\cos x=-\sqrt{2}t $$

したがって

$$ \sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=-2t $$

となる。

次に

$$ 2x=2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{2} $$

より，

$$ \sin 2x=\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{2}\right) =-\cos 2\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

である。ここで

$$ \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1 $$

を用いると，

$$ \sin 2x=-(2t^2-1)=1-2t^2 $$

となる。よって

$$ f(x)=-2t-(1-2t^2)=2t^2-2t-1 $$

である。

（2） 最大値と最小値を求める。

$t=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ であるから，

$$ -1\le t\le 1 $$

である。したがって

$$ f(x)=2t^2-2t-1 =2\left(t-\frac12\right)^2-\frac32 $$

と変形できる。

よって最小値は

$$ t=\frac12 $$

のときにとり，

$$ f_{\min}=-\frac32 $$

である。

最大値は区間 $-1\le t\le 1$ の端で調べればよい。実際，

$$ f(-1)=2+2-1=3,\qquad f(1)=2-2-1=-1 $$

より，最大値は

$$ f_{\max}=3 $$

である。

（3） 方程式 $f(x)=a$ が $0\le x<2\pi$ で相異なる2つの解をもつ条件を求める。

（1） より，

$$ f(x)=a $$

は

$$ 2t^2-2t-1=a $$

すなわち

$$ 2t^2-2t-(a+1)=0 $$

と同値である。ただし

$$ t=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right),\qquad -1\le t\le 1 $$

である。

ここで，$x$ が $0\le x<2\pi$ を動くとき，$\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ は1周期分をちょうど動くので，

• $-1<t<1$ なら，対応する $x$ は相異なる2個
• $t=1$ または $t=-1$ なら，対応する $x$ は1個

である。

したがって，$f(x)=a$ が相異なる2つの解をもつのは，$2t^2-2t-1=a$ が区間 $[-1,1]$ に

• 内部の解をちょうど1個もつ場合
• または重解を内部にもつ場合

である。

放物線

$$ y=2t^2-2t-1 $$

は上に開き，頂点は

$$ t=\frac12,\qquad y=-\frac32 $$

である。また

$$ y(1)=-1,\qquad y(-1)=3 $$

である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$a=-\dfrac32$ のとき

$$ 2t^2-2t-1=-\frac32 $$

は

$$ t=\frac12 $$

を重解にもつ。これは $-1<t<1$ を満たすので，対応する $x$ は2個である。

**(ii)**

$-\dfrac32<a<-1$ のとき

$t$ の解は2個とも $-1<t<1$ に入るので，対応する $x$ は合計4個となる。したがって不適。

**(iii)**

$a=-1$ のとき

$$ 2t^2-2t-1=-1 $$

より

$$ 2t(t-1)=0 $$

となり，

$$ t=0,\ 1 $$

である。$t=0$ から $x$ は2個，$t=1$ から $x$ は1個出るので，合計3個となり不適。

**(iv)**

$-1<a<3$ のとき

$t$ の解は1つだけが $-1<t<1$ に入り，もう1つは $t>1$ となる。したがって対応する $x$ はちょうど2個である。

**(v)**

$a=3$ のとき

$$ 2t^2-2t-1=3 $$

より

$$ t^2-t-2=0 $$

すなわち

$$ t=-1,\ 2 $$

である。区間 $[-1,1]$ に入るのは $t=-1$ のみで，このとき対応する $x$ は1個だから不適。

以上より条件は

$$ a=-\frac32\quad \text{または}\quad -1<a<3 $$

である。

解説

この問題の要点は，三角関数の式をそのまま微分して処理するのではなく，

$$ t=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

という置換で2次関数に落とすことである。

$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x$ は $x+\dfrac{\pi}{4}$ を用いると1つにまとまり，さらに $\sin 2x$ も同じ角で表せるので，全体が $t$ の2次式になる。すると最大値・最小値は平方完成で直ちに分かり，方程式の解の個数も「$t$ の個数」と「1つの $t$ に対して何個の $x$ が対応するか」を切り分けて考えれば整理できる。

特に （3） では，$t$ の解の個数だけでなく，

• $-1<t<1$ なら $x$ は2個
• $t=\pm 1$ なら $x$ は1個

という対応を見落とさないことが重要である。

答え

**(1)**

$$ f(x)=2t^2-2t-1 $$

**(2)**

最大値は

$$ 3 $$

最小値は

$$ -\frac32 $$

**(3)**

方程式 $f(x)=a$ が $0\le x<2\pi$ で相異なる2つの解をもつための条件は

$$ a=-\frac32\quad \text{または}\quad -1<a<3 $$

である。