解説

方針・初手

左辺を $\cos x$ の式に直すと、方程式は $\cos x$ だけで表せる。そこで

$$ t=\cos x \qquad (-1\le t\le 1) $$

とおいて、まず $t$ の値を求める。

そのあと、区間 $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi$ において $\cos x=t$ が何個の $x$ をもつかを数えればよい。

解法1

与式 $\sin^2x+3\cos^2x-2\cos x-a=0$ に対し、$\sin^2x=1-\cos^2x$ を用いると

$$ 1-\cos^2x+3\cos^2x-2\cos x-a=0 $$

より

$$ 2\cos^2x-2\cos x+1-a=0 $$

となる。ここで $t=\cos x$ とおくと

$$ 2t^2-2t+1-a=0 $$

である。さらに平方完成すると

$$ 2\left(t-\frac12\right)^2+\frac12-a=0 $$

すなわち

$$ 2\left(t-\frac12\right)^2=a-\frac12 $$

となる。

したがって、まず $t$ について見れば、

• $a<\dfrac12$ のときは実数解なし
• $a\ge \dfrac12$ のときは

$$ t=\frac{1\pm\sqrt{2a-1}}{2} $$

を得る。

次に、この $t$ が $-1\le t\le 1$ に入るか、また $\cos x=t$ が何個の解をもつかを調べる。

区間 $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi$ における $\cos x$ の値のとり方は次の通りである。

• $0<t<1$ なら、$\cos x=t$ の解は $2$ 個
• $t=0$ なら、$x=-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2}$ の $2$ 個
• $t=1$ なら、$x=0$ の $1$ 個
• $-1\le t<0$ なら、解は $1$ 個

以下、$a$ の値で場合分けする。

**(i)**

$a<\dfrac12$

このとき $2\left(t-\dfrac12\right)^2=a-\dfrac12<0$ となり、不可能である。

よって解は $0$ 個である。

**(ii)**

$a=\dfrac12$

このとき

$$ \left(t-\frac12\right)^2=0 $$

より $t=\dfrac12$ のみである。

$0<\dfrac12<1$ であるから、$\cos x=\dfrac12$ の解は $2$ 個である。

よって解は $2$ 個である。

**(iii)**

$\dfrac12<a<1$

このとき $0<\sqrt{2a-1}<1$ であるから、

$$ t_1=\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2},\qquad t_2=\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2} $$

はともに $0<t<1$ を満たす。

したがって、それぞれについて $x$ は $2$ 個ずつ存在するので、合計 $4$ 個である。

**(iv)**

$a=1$

このとき

$$ t=\frac{1\pm1}{2} $$

より $t=0,1$ である。

$t=0$ に対しては $x=-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2}$ の $2$ 個、 $t=1$ に対しては $x=0$ の $1$ 個である。

よって解は合計 $3$ 個である。

**(v)**

$1<a\le 5$

このとき $\sqrt{2a-1}>1$ であるから、

$$ t_2=\frac{1+\sqrt{2a-1}}{2}>1 $$

となり不適である。一方、

$$ t_1=\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2} $$

については、$a\le 5$ より $\sqrt{2a-1}\le 3$ であるから

$$ -1\le t_1<0 $$

となる。したがって $\cos x=t_1$ の解は $1$ 個である。

よって解は $1$ 個である。

**(vi)**

$a>5$

このとき $t=\cos x$ に対し

$$ 2t^2-2t+1 =2\left(t-\frac12\right)^2+\frac12 $$

であり、$-1\le t\le 1$ では最大値は $t=-1$ のとき

$$ 2(-1)^2-2(-1)+1=5 $$

である。したがって $a>5$ では方程式は成り立たない。

よって解は $0$ 個である。

解説

この問題の本質は、左辺が $\cos x$ だけの二次式になることにある。したがって、いきなり $x$ を解こうとするよりも、まず $t=\cos x$ とおいて値の範囲と解の個数を切り分けるのが自然である。

特に注意すべき点は、同じ $\cos x=t$ でも、$t$ の符号や $t=0,1$ などの端点によって、区間 $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi$ での解の個数が変わることである。ここを丁寧に数えることが最重要である。

答え

方程式の解の個数は、$a$ の値によって次のように分類される。

$$ \begin{cases} 0個 & \left(a<\dfrac12,\ a>5\right),\\[1mm] 2個 & \left(a=\dfrac12\right),\\[1mm] 4個 & \left(\dfrac12<a<1\right),\\[1mm] 3個 & \left(a=1\right),\\[1mm] 1個 & \left(1<a\le 5\right). \end{cases} $$