解説

方針・初手

$\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を用いて、$\sin x$ についての二次方程式に直す。

$t=\sin x$ とおけば $-1\le t\le 1$ であるから、まず $t$ の解が区間 $[-1,1]$ にいくつあるかを調べ、その後 $\sin x=t$ に対応する $x$ の個数を数えればよい。

解法1

与式

$$ \cos^2 x+2a\sin x-a-1=0 $$

に $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を用いると、

$$ 1-\sin^2 x+2a\sin x-a-1=0 $$

すなわち

$$ \sin^2 x-2a\sin x+a=0 $$

となる。

ここで

$$ t=\sin x \qquad (-1\le t\le 1) $$

とおくと、調べるべき方程式は

$$ t^2-2at+a=0 $$

である。

$f(t)=t^2-2at+a$ とおくと、

$$ f(-1)=1+3a,\qquad f(1)=1-a $$

であり、頂点は $t=a$、そのときの値は

$$ f(a)=a-a^2=a(1-a) $$

である。

また、$\sin x=t$ の解の個数は

$$ -1<t<1 \text{ のとき }2\text{個},\qquad t=\pm1 \text{ のとき }1\text{個} $$

である。

以下、$a$ の値で場合分けする。

**(i)**

$a<-\dfrac13$ のとき

$f(-1)=1+3a<0,\ f(1)=1-a>0$ であるから、区間 $(-1,1)$ に根を1つもつ。

さらに $a<0$ なので、2根の積は $a<0$ であり、2根は異符号である。したがって、もう1つの根は $-1$ より左にある。

よって $-1<t<1$ の根は1つだけであり、これに対応する $x$ は2個である。

**(ii)**

$a=-\dfrac13$ のとき

$$ t^2+\frac23 t-\frac13=0 $$

より、

$$ 3t^2+2t-1=(3t-1)(t+1)=0 $$

したがって

$$ t=-1,\ \frac13 $$

である。

$t=-1$ に対しては $x=\dfrac{3\pi}{2}$ の1個、$t=\dfrac13$ に対しては2個あるから、合計3個である。

**(iii)**

$-\dfrac13<a<0$ のとき

$f(-1)=1+3a>0,\ f(1)=1-a>0$ であり、しかも

$$ f(a)=a(1-a)<0 $$

である。

したがって、上に開く放物線 $y=f(t)$ は区間 $(-1,1)$ の内部で $t$ 軸と2回交わる。よって $-1<t<1$ の根が2つある。

それぞれに対して $x$ は2個ずつあるから、合計4個である。

**(iv)**

$a=0$ のとき

$$ t^2=0 $$

より $t=0$ のみである。

$\sin x=0$ の解は

$$ x=0,\ \pi $$

の2個である。

**(v)**

$0<a<1$ のとき

$$ f(a)=a(1-a)>0 $$

であり、上に開く放物線の最小値が正であるから、$f(t)=0$ は実数解をもたない。

したがって、$x$ の実数解も存在しない。

**(vi)**

$a=1$ のとき

$$ t^2-2t+1=(t-1)^2=0 $$

より $t=1$ のみである。

$\sin x=1$ の解は

$$ x=\frac{\pi}{2} $$

の1個である。

**(vii)**

$a>1$ のとき

$f(-1)=1+3a>0,\ f(1)=1-a<0$ であるから、区間 $(-1,1)$ に根を1つもつ。

また頂点は $t=a>1$ にあるので、もう1つの根は $1$ より大きい。したがって $-1<t<1$ の根は1つだけである。

よって、これに対応する $x$ は2個である。

解説

この問題では、三角方程式をそのまま解こうとするのではなく、$\cos^2 x=1-\sin^2 x$ によって $\sin x$ の二次方程式へ落とすのが基本方針である。

その後は、二次方程式の解 $t$ が実数であるだけでなく、$\sin x=t$ となるために $-1\le t\le 1$ を満たす必要があることに注意する。さらに、$t$ が区間 $(-1,1)$ にあれば $x$ は2個、端点 $t=\pm1$ なら1個になる。

境目となる $a=-\dfrac13,0,1$ は、それぞれ $t=-1,0,1$ が根になる場合に対応している。したがって、この3点を丁寧に分けて数えることが重要である。

答え

異なる実数解の個数は

$$ \begin{cases} 2 & \left(a<-\dfrac13\right),\\ 3 & \left(a=-\dfrac13\right),\\ 4 & \left(-\dfrac13<a<0\right),\\ 2 & \left(a=0\right),\\ 0 & \left(0<a<1\right),\\ 1 & \left(a=1\right),\\ 2 & \left(a>1\right). \end{cases} $$