解説

方針・初手

$t=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$ を二乗して，$f(\theta)$ を $t$ の式に直す。さらに $t$ を合成すると $t=2\sin(\theta+30^\circ)$ となるので，$t$ の範囲と，方程式 $t=c$ の解の個数が読み取りやすくなる。これを用いて $f(\theta)=0$ の解の個数を調べる。

解法1

**(1)**

まず

$$ t=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta $$

より，

$$ \begin{aligned} t^2 &=(\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta)^2 \\ &=3\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta \\ &=3\sin^2\theta+\cos^2\theta+\sqrt{3}\sin2\theta \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} 3\sin^2\theta+\cos^2\theta &=3\cdot \frac{1-\cos2\theta}{2}+\frac{1+\cos2\theta}{2} \\ &=2-\cos2\theta \end{aligned} $$

だから，

$$ t^2=2-\cos2\theta+\sqrt{3}\sin2\theta $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} 2t^2-4at &=2(2-\cos2\theta+\sqrt{3}\sin2\theta)-4a(\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta) \\ &=4-2\cos2\theta+2\sqrt{3}\sin2\theta-4a(\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta) \\ &=f(\theta) \end{aligned} $$

である。したがって，

$$ f(\theta)=2t^2-4at $$

が示された。

**(2)**

$t$ を合成すると，

$$ \sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta =2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\frac12\cos\theta\right) =2\sin(\theta+30^\circ) $$

となる。したがって

$$ t=2\sin(\theta+30^\circ) $$

である。

ここで $0^\circ\leqq \theta\leqq 180^\circ$ より，

$$ 30^\circ\leqq \theta+30^\circ\leqq 210^\circ $$

である。区間 $[30^\circ,210^\circ]$ における $\sin$ の最大値は $1$，最小値は $-\dfrac12$ であるから，

$$ -1\leqq t\leqq 2 $$

である。

**(3)**

（1） より

$$ f(\theta)=2t^2-4at=2t(t-2a) $$

であるから，方程式 $f(\theta)=0$ は

$$ t=0 \quad \text{または} \quad t=2a $$

と同値である。

ここで

$$ t=2\sin(\theta+30^\circ) $$

であり，$\theta$ の範囲は $0^\circ\leqq \theta\leqq 180^\circ$ であるから，$t$ は

• $0^\circ\leqq \theta\leqq 60^\circ$ で $1$ から $2$ まで増加し，
• $60^\circ\leqq \theta\leqq 180^\circ$ で $2$ から $-1$ まで減少する。

したがって，定数 $c$ に対して方程式 $t=c$ の解の個数は，

$$ \begin{cases} 0 & (c<-1,\ 2<c),\\ 1 & (-1\leqq c<1,\ c=2),\\ 2 & (1\leqq c<2) \end{cases} $$

となる。

まず $t=0$ は $0\in[-1,1)$ であるから，常にただ $1$ 個の解をもつ。

次に $t=2a$ の解の個数を調べると，

• $a<-\dfrac12$ または $a>1$ のとき，$2a\notin[-1,2]$ であり，解は $0$ 個。
• $-\dfrac12\leqq a<\dfrac12$ で $a\neq 0$ のとき，$-1\leqq 2a<1$ であり，解は $1$ 個。
• $\dfrac12\leqq a<1$ のとき，$1\leqq 2a<2$ であり，解は $2$ 個。
• $a=1$ のとき，$2a=2$ であり，解は $1$ 個。
• $a=0$ のとき，$t=0$ と $t=2a$ は同じ式になるので重複する。

以上より，方程式 $f(\theta)=0$ の解の個数は

$$ \begin{cases} 1 & \left(a<-\dfrac12,\ a=0,\ a>1\right),\\ 2 & \left(-\dfrac12\leqq a<0,\ 0<a<\dfrac12,\ a=1\right),\\ 3 & \left(\dfrac12\leqq a<1\right) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の要点は，$\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$ をそのまま扱わず，$t$ とおいて二乗し，さらに合成して $2\sin(\theta+30^\circ)$ に直すことである。これにより，複雑に見える $f(\theta)$ が $t$ の二次式に落ち，しかも $t$ の取りうる範囲と $t=c$ の解の個数まで一括して処理できる。

特に （3） では，$t$ の値の範囲だけでなく，1つの $t$ の値に対して $\theta$ が何個対応するかを調べる必要がある。ここを見落として，単に $t=0,\ 2a$ が範囲に入るかどうかだけで判断すると誤る。

答え

**(1)**

$$ f(\theta)=2t^2-4at $$

**(2)**

$$ -1\leqq t\leqq 2 $$

**(3)**

方程式 $f(\theta)=0$ の解の個数は

$$ \begin{cases} 1 & \left(a<-\dfrac12,\ a=0,\ a>1\right),\\ 2 & \left(-\dfrac12\leqq a<0,\ 0<a<\dfrac12,\ a=1\right),\\ 3 & \left(\dfrac12\leqq a<1\right) \end{cases} $$