解説

方針・初手

$\sin x+\cos x$ を一つの文字でまとめると整理しやすい。

そこで

$$ t=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

とおく。すると

$$ \sin x+\cos x=\sqrt{2}t $$

となり，$\sin x\cos x$ や $\sin^3x+\cos^3x$ も $t$ で表せる。これにより，もとの方程式を $t$ の三次方程式に直して，$-1\le t\le 1$ の範囲で解の個数を調べる。

解法1

$t=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ とおくと，

$$ \sin x+\cos x=\sqrt{2}t $$

である。

また，

$$ (\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x $$

より，

$$ 2t^2=1+2\sin x\cos x $$

すなわち

$$ \sin x\cos x=t^2-\frac12 $$

である。

さらに，

$$ \sin^3x+\cos^3x=(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x) $$

であり，$\sin^2x+\cos^2x=1$ を用いると

$$ \sin^3x+\cos^3x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x) $$

となる。したがって

$$ \sin^3x+\cos^3x =\sqrt{2}t\left(1-\left(t^2-\frac12\right)\right) =\sqrt{2}t\left(\frac32-t^2\right) $$

である。

これをもとの方程式

$$ 2\sqrt{2}(\sin^3x+\cos^3x)+3\sin x\cos x=0 $$

に代入すると，

$$ 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}t\left(\frac32-t^2\right)+3\left(t^2-\frac12\right)=0 $$

すなわち

$$ 4t\left(\frac32-t^2\right)+3t^2-\frac32=0 $$

となる。整理して

$$ -8t^3+6t^2+12t-3=0 $$

すなわち

$$ f(t)=8t^3-6t^2-12t+3=0 $$

を解けばよい。

ここで $t=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ であるから，

$$ -1\le t\le 1 $$

である。この範囲で $f(t)=0$ の解の個数を調べる。

まず導関数を求めると，

$$ f'(t)=24t^2-12t-12 =12(2t+1)(t-1) $$

である。したがって，

• $-1\le t<-\dfrac12$ では $f'(t)>0$
• $-\dfrac12<t\le 1$ では $f'(t)<0$

となる。よって，$f(t)$ は $[-1,-\dfrac12]$ で増加し，$[-\dfrac12,1]$ で減少する。

次に値を調べると，

$$ f(-1)=8(-1)^3-6(-1)^2-12(-1)+3=1>0 $$

$$ f\left(-\frac12\right)=8\left(-\frac18\right)-6\left(\frac14\right)-12\left(-\frac12\right)+3=\frac{13}{2}>0 $$

$$ f(1)=8-6-12+3=-7<0 $$

である。

したがって，$[-1,-\dfrac12]$ では常に正であり解をもたない。一方，$[-\dfrac12,1]$ では単調減少で，しかも

$$ f\left(-\frac12\right)>0,\qquad f(1)<0 $$

であるから，この区間にただ1つの解をもつ。

よって，$-1\le t\le 1$ において方程式 $f(t)=0$ の解はただ1つである。

最後に，その解を $t=t_0$ とすると，$f(-\dfrac12)>0,\ f(1)<0$ より

$$ -\frac12<t_0<1 $$

であり，特に $t_0\neq \pm1$ である。したがって

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=t_0 $$

は $0\le x<2\pi$ においてちょうど2個の解をもつ。

解説

この問題の要点は，$\sin^3x+\cos^3x$ をそのまま扱わず，

$$ \sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

という合成を使って一変数化することである。

個数だけを問われているので，三次方程式の解を実際に求める必要はない。$t$ の取りうる範囲 $-1\le t\le 1$ を意識し，その範囲で三次関数の増減を調べれば十分である。

答え

解の個数は

$$ 2 $$

個である。