解説

方針・初手

$f(x)$ が $g(x)$ の積分で与えられているので、まず

$$ \int_x^1 g(t),dt $$

を具体的に計算し、$f(x)=ax^2+bx+c$ と係数比較するのが基本方針である。

その後、もう1つの条件

$$ \int_0^1 t g(t),dt=\frac{a}{3} $$

を用いて $p,q$ を決めれば、$f(x),g(x)$ が完全に定まる。あとは $f(x)-g(x)$ を整理し、交点と面積を順に求めればよい。

解法1

$g(t)=pt+q$ より、

$$ \int_x^1 g(t),dt=\int_x^1 (pt+q),dt $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_x^1 (pt+q),dt &=\left[\frac{p}{2}t^2+qt\right]_x^1 \\ &=\left(\frac{p}{2}+q\right)-\left(\frac{p}{2}x^2+qx\right) \\ &=-\frac{p}{2}x^2-qx+\left(\frac{p}{2}+q\right) \end{aligned} $$

となる。

これが

$$ f(x)=ax^2+bx+c $$

に等しいので、係数比較により

$$ a=-\frac{p}{2},\quad b=-q,\quad c=\frac{p}{2}+q $$

を得る。

したがって、

$$ p=-2a $$

である。

次に条件

$$ \int_0^1 t g(t),dt=\frac{a}{3} $$

を用いる。$g(t)=pt+q$ だから、

$$ \int_0^1 t(pt+q),dt=\int_0^1 (pt^2+qt),dt $$

であり、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 (pt^2+qt),dt &=\left[\frac{p}{3}t^3+\frac{q}{2}t^2\right]_0^1 \\ &=\frac{p}{3}+\frac{q}{2} \end{aligned} $$

となる。これが $\dfrac{a}{3}$ に等しいから、

$$ \frac{p}{3}+\frac{q}{2}=\frac{a}{3} $$

である。ここに $p=-2a$ を代入すると、

$$ -\frac{2a}{3}+\frac{q}{2}=\frac{a}{3} $$

より、

$$ \frac{q}{2}=a $$

すなわち

$$ q=2a $$

を得る。よって

$$ b=-q=-2a $$

また

$$ c=\frac{p}{2}+q=\frac{-2a}{2}+2a=a $$

である。

以上より、

$$ b=-2a,\quad c=a,\quad p=-2a,\quad q=2a $$

となる。

さらに関数は

$$ f(x)=ax^2-2ax+a=a(x-1)^2 $$

$$ g(x)=-2ax+2a=-2a(x-1) $$

と書ける。

（2） 方程式 $f(x)-g(x)=0$ の解

上で求めた式を用いると、

$$ \begin{aligned} f(x)-g(x) &=(ax^2-2ax+a)-(-2ax+2a) \\ &=ax^2-a \\ &=a(x^2-1) \\ &=a(x-1)(x+1) \end{aligned} $$

となる。

$a\neq 0$ であるから、

$$ f(x)-g(x)=0 $$

の解は

$$ x=-1,\ 1 $$

である。

（3） 囲まれる部分の面積が $1$ となるときの $a$

交点の $x$ 座標は $-1,1$ であるから、囲まれる部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1}^1 |f(x)-g(x)|,dx $$

である。

ここで

$$ f(x)-g(x)=a(x^2-1) $$

だから、

$$ |f(x)-g(x)|=|a|(1-x^2)\qquad (-1\le x\le 1) $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} S &=|a|\int_{-1}^1 (1-x^2),dx \\ &=|a|\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 \\ &=|a|\left(\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)\right) \\ &=\frac{4}{3}|a| \end{aligned} $$

これが $1$ に等しいので、

$$ \frac{4}{3}|a|=1 $$

より

$$ |a|=\frac{3}{4} $$

したがって、

$$ a=\pm \frac{3}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は、積分で与えられた $f(x)$ をそのまま計算して係数比較することである。すると $f,g$ はともに $a$ のみで表され、実質的に1変数の問題に帰着する。

また、

$$ f(x)=a(x-1)^2,\quad g(x)=-2a(x-1) $$

と整理できることに気づくと、交点の計算や面積計算がかなり見通しよくなる。特に

$$ f(x)-g(x)=a(x^2-1) $$

となるため、交点が $\pm 1$ にそろい、面積も対称性を用いて簡潔に処理できる。

答え

**(1)**

$$ b=-2a,\quad c=a,\quad p=-2a,\quad q=2a $$

**(2)**

$$ x=-1,\ 1 $$

**(3)**

$$ a=\pm \frac{3}{4} $$