解説

方針・初手

原点における法線の方程式を求め，曲線との交点を出す。

囲まれた図形は原点対称なので，片側の面積を積分して $2$ 倍する。

解法1

曲線

$$ y=x^3-ax $$

の導関数は

$$ y'=3x^2-a $$

である。したがって原点 $x=0$ における接線の傾きは $-a$，法線の傾きは

$$ \frac{1}{a} $$

であるから，法線の方程式は

$$ y=\frac{x}{a} $$

となる。

次に，曲線と法線の交点を求める。両式を連立すると

$$ x^3-ax=\frac{x}{a} $$

すなわち

$$ x\left(x^2-a-\frac{1}{a}\right)=0 $$

となるから，交点の $x$ 座標は

$$ x=0,\quad x=\pm \sqrt{a+\frac{1}{a}} $$

である。

ここで

$$ r=\sqrt{a+\frac{1}{a}} $$

とおく。

$0<x<r$ では

$$ \frac{x}{a}-(x^3-ax)=\left(a+\frac{1}{a}\right)x-x^3=x(r^2-x^2)>0 $$

であるから，この区間では法線が曲線より上にある。

また，曲線 $y=x^3-ax$ も法線 $y=\dfrac{x}{a}$ も奇関数なので，囲まれた部分は原点に関して対称である。よって面積 $S$ は

$$ S=2\int_0^r \left\{\frac{x}{a}-(x^3-ax)\right\}\,dx =2\int_0^r (r^2x-x^3)\,dx $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=2\left[\frac{r^2x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^r \\ &=2\left(\frac{r^4}{2}-\frac{r^4}{4}\right) \\ &=\frac{r^4}{2}. \end{aligned} $$

ここで $r^2=a+\dfrac{1}{a}$ だから，

$$ S=\frac12\left(a+\frac1a\right)^2 $$

である。

次に最小値を求める。$a>0$ なので，相加平均と相乗平均の関係より

$$ a+\frac1a\ge 2 $$

であり，等号成立は $a=1$ のときである。したがって

$$ S=\frac12\left(a+\frac1a\right)^2\ge \frac12\cdot 2^2=2 $$

より，最小値は $2$ である。

解説

まず法線の方程式を求め，その直線と曲線の交点を出す。

あとはどちらが上にあるかを確認して積分すればよい。図形が原点対称になることに気づけば，片側だけ計算して $2$ 倍できる。

答え

**(1)**

$$ S=\frac12\left(a+\frac1a\right)^2 $$

**(2)**

$$ S_{\min}=2 $$

このとき

$$ a=1 $$