解説

方針・初手

積分の中の変数は $t$ であり，積分区間も固定されているので，

$$ \int_{-1}^{0} f(t)\,dt,\qquad \int_{0}^{1} f(t)\,dt $$

はともに $x$ によらない定数である。したがって $f(x)$ は $x$ の2次式になる。

まず $f(x)=-3x^2+px+q$ とおいて係数を決定し，その後に接線と面積を求める。

解法1

$$ f(x)=-3x^2+px+q $$

とおく。

このとき

$$ \int_{-1}^{0} f(t)\,dt =\int_{-1}^{0}(-3t^2+pt+q)\,dt $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(t)\,dt &=\left[-t^3+\frac{p}{2}t^2+qt\right]_{-1}^{0} \\ &=0-\left(1+\frac{p}{2}-q\right) \\ &=-1-\frac{p}{2}+q. \end{aligned} $$

同様に

$$ \int_{0}^{1} f(t)\,dt =\int_{0}^{1}(-3t^2+pt+q)\,dt $$

より，

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1} f(t)\,dt &=\left[-t^3+\frac{p}{2}t^2+qt\right]_{0}^{1} \\ &=-1+\frac{p}{2}+q \end{aligned} $$

である。

したがって与式

$$ f(x)=-3x^2-\int_{-1}^{0} f(t)\,dt+\int_{0}^{1} 2x\,f(t)\,dt $$

に代入すると，

$$ -3x^2+px+q =-3x^2-\left(-1-\frac{p}{2}+q\right)+2x\left(-1+\frac{p}{2}+q\right) $$

となる。係数比較により

$$ q=1+\frac{p}{2}-q,\qquad p=-2+p+2q $$

を得る。

後式から

$$ q=1 $$

であり，これを前式に代入すると

$$ 1=1+\frac{p}{2}-1 $$

より

$$ p=2 $$

となる。よって

$$ f(x)=-3x^2+2x+1 $$

である。

次に，点 $(a,f(a))$ における接線を求める。

$$ f'(x)=-6x+2 $$

だから，$x=a$ における接線は

$$ \begin{aligned} y &=f'(a)(x-a)+f(a) \\ &=(-6a+2)(x-a)+(-3a^2+2a+1) \\ &=(-6a+2)x+3a^2+1 \end{aligned} $$

である。

この接線が点 $\left(-\dfrac12,0\right)$ を通るので，

$$ 0=(-6a+2)\left(-\frac12\right)+3a^2+1 $$

すなわち

$$ 3a^2+3a=0 $$

より

$$ a=0,\ -1 $$

を得る。ただし条件 $a>-\dfrac12$ より

$$ a=0 $$

である。したがって求める接線は

$$ y=2x+1 $$

である。

最後に面積を求める。

$f(x)$ と $x$ 軸の交点は

$$ -3x^2+2x+1=0 \iff (3x+1)(x-1)=0 $$

より

$$ x=-\frac13,\ 1 $$

であり，接線 $y=2x+1$ と $x$ 軸の交点は

$$ 2x+1=0 \iff x=-\frac12 $$

である。

また

$$ (2x+1)-f(x)=3x^2\ge 0 $$

だから，接線は曲線の上側にある。したがって囲まれた部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1/2}^{-1/3}(2x+1)\,dx+\int_{-1/3}^{0}\{(2x+1)-f(x)\}\,dx $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} S &=\int_{-1/2}^{-1/3}(2x+1)\,dx+\int_{-1/3}^{0}3x^2\,dx \\ &=\left[x^2+x\right]_{-1/2}^{-1/3}+\left[x^3\right]_{-1/3}^{0} \\ &=\left(\frac19-\frac13\right)-\left(\frac14-\frac12\right)+\frac1{27} \\ &=\frac1{36}+\frac1{27} \\ &=\frac7{108}. \end{aligned} $$

解説

積分方程式だが，積分区間が固定されているので積分部分は定数とみなせる。したがって最初に $f(x)$ を2次式と見抜くのがポイントである。

その後は接線条件を使って $a$ を決め，最後に位置関係を確認して面積を積分すればよい。

答え

**(1)**

$$ f(x)=-3x^2+2x+1 $$

**(2)**

$$ y=2x+1 $$

**(3)**

$$ \frac7{108} $$