解説

方針・初手

各放物線と直線は原点で交わる。したがって、もう 1 つの交点を求めれば、囲まれる部分の面積は「直線と放物線の差の積分」で表せる。まず $S_1,\ S_2$ を $k$ で表し、その比が $k$ によらない条件を調べる。

解法1

$C_1$ と $L$ の交点は

$$ ax^2+bx=kx $$

より、

$$ x(ax+b-k)=0 $$

すなわち

$$ x=0,\ \frac{k-b}{a} $$

である。よって、$C_1$ と $L$ で囲まれる部分の面積 $S_1$ は

$$ S_1=\left|\int_0^{(k-b)/a}{kx-(ax^2+bx)},dx\right| $$

と表される。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S_1 &=\left|\int_0^{(k-b)/a}{(k-b)x-ax^2},dx\right| \\ &=\left|\left[\frac{k-b}{2}x^2-\frac{a}{3}x^3\right]_0^{(k-b)/a}\right| \\ &=\left|\frac{(k-b)^3}{6a^2}\right| \\ &=\frac{|k-b|^3}{6a^2} \end{aligned} $$

となる。

同様に、$C_2$ と $L$ の交点は

$$ px^2+qx=kx $$

より、

$$ x=0,\ \frac{k-q}{p} $$

であるから、

$$ S_2=\left|\int_0^{(k-q)/p}{kx-(px^2+qx)},dx\right| =\frac{|k-q|^3}{6p^2} $$

となる。

したがって、

$$ \frac{S_1}{S_2} =\frac{p^2}{a^2}\left(\frac{|k-b|}{|k-q|}\right)^3 $$

である。

この比が $k$ によらないためには、

$$ \frac{|k-b|}{|k-q|} $$

が $k$ によらない定数でなければならない。

ここで $k>\max{b,q}$ とすると絶対値が外れて、

$$ \frac{|k-b|}{|k-q|}=\frac{k-b}{k-q} $$

となる。これが $k$ によらない定数であるとすると、ある定数 $c$ が存在して

$$ k-b=c(k-q) $$

が恒等的に成り立つ。両辺の $k$ の係数を比べると $c=1$ であり、さらに定数項を比べると

$$ b=q $$

を得る。

逆に $b=q$ ならば、

$$ \frac{S_1}{S_2} =\frac{p^2}{a^2} $$

となり、これは明らかに $k$ によらない。

以上より、求める必要十分条件は

$$ b=q $$

である。

解説

この問題の本質は、原点を通る放物線 $y=ax^2+bx$ と直線 $y=kx$ に対して、囲まれる面積が

$$ \frac{|k-b|^3}{6a^2} $$

という形になることである。つまり、面積は「直線の傾き $k$ と接線係数 $b$ の差の 3 乗」に比例する。

したがって 2 つの面積の比が $k$ によらないためには、$|k-b|$ と $|k-q|$ の $k$ 依存の仕方が一致しなければならず、そのためには $b=q$ が必要であり、また十分でもある。

答え

必要十分条件は

$$ b=q $$

である。