解説

方針・初手

共有点の $x$ 座標は

$$ x^3-5x+2=ax $$

を満たすから、

$$ x^3-(a+5)x+2=0 $$

の実数解に対応する。

3次方程式が異なる $2$ 点でのみ交わるためには、1つの解が重解になっていると考えるのが自然である。そこで、この3次式とその導関数が共通解をもつ条件を用いる。

解法1

曲線と直線の共有点の $x$ 座標は

$$ f(x)=x^3-(a+5)x+2=0 $$

の解である。

「共有点が $2$ 個」ということは、3次方程式 $f(x)=0$ が重解を1つもち、もう1つ別の実数解をもつことを意味する。よって、ある実数 $\alpha$ について

$$ f(\alpha)=0,\qquad f'(\alpha)=0 $$

が同時に成り立つ。

まず、

$$ f'(x)=3x^2-(a+5) $$

であるから、

$$ f'(\alpha)=0 \quad\Longrightarrow\quad a+5=3\alpha^2 $$

を得る。

これを $f(\alpha)=0$ に代入すると、

$$ \alpha^3-(a+5)\alpha+2=0 $$

より

$$ \alpha^3-3\alpha^3+2=0 $$

すなわち

$$ -2\alpha^3+2=0 $$

となるので、

$$ \alpha^3=1 $$

である。したがって

$$ \alpha=1 $$

である。

よって

$$ a+5=3\alpha^2=3 $$

より

$$ a=-2 $$

となる。

次に、このときの共有点を求める。

$$ x^3-5x+2=-2x $$

より

$$ x^3-3x+2=0 $$

である。これは

$$ x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2) $$

と因数分解できるから、共有点の $x$ 座標は

$$ x=1,\ -2 $$

である。

したがって、囲まれた部分は $x=-2$ から $x=1$ の間にある。

この区間で、曲線と直線の差は

$$ (x^3-5x+2)-(-2x)=x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2) $$

である。$-2\leqq x\leqq 1$ では $(x-1)^2\geqq 0,\ x+2\geqq 0$ であるから、この差は $0$ 以上であり、曲線が直線より上にある。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2}^{1}{(x^3-5x+2)-(-2x)},dx =\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2),dx $$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S&=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]_{-2}^{1} \\ &=\left(\frac14-\frac32+2\right)-\left(4-6-4\right) \\ &=\frac34-(-6) \\ &=\frac{27}{4} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、「共有点が $2$ 個」という条件を「3次方程式が重解をもつ」と読み替えることである。

3次式と直線の交点は通常 $1$ 個または $3$ 個であり、ちょうど $2$ 個になるのは接する点がある場合だけである。したがって、元の方程式とその導関数を連立する方針が最も直接的である。

面積については、交点を求めたあとに上下関係を確かめて積分すればよい。今回は差が $(x-1)^2(x+2)$ と因数分解できるため、符号判定も容易である。

答え

**(1)**

$$ a=-2 $$

**(2)**

囲まれた図形の面積は

$$ \frac{27}{4} $$

である。