解説

方針・初手

曲線②は曲線①の式で $x,y$ を入れ替えたものであり，直線 $y=x$ に関して対称である。

まず原点での接線を比べて $a$ を決め，その後は交点を求めて，曲線①と直線 $y=x$ で囲まれる面積の $2$ 倍として処理する。

解法1

曲線①を

$$ y=f(x),\qquad f(x)=x^3+x^2+ax $$

とおく。

原点での曲線①の接線の傾きは

$$ f'(0)=a $$

だから，接線は

$$ y=ax $$

である。

一方，曲線②は

$$ x=f(y)=y^3+y^2+ay $$

であるから，原点での接線は

$$ x=ay $$

すなわち

$$ y=\frac{1}{a}x $$

である。ただし $a=0$ のときは曲線①の接線が $y=0$，曲線②の接線が $x=0$ となり，同じ直線にはならない。

したがって同じ直線に接する条件は

$$ a=\frac{1}{a} $$

であり，

$$ a^2=1 $$

より

$$ a=1,\ -1 $$

である。

（i） $a=1$ の場合

このとき

$$ f(x)=x^3+x^2+x $$

である。

交点では

$$ y=f(x),\qquad x=f(y) $$

が成り立つから，両式を引くと

$$ y-x=f(x)-f(y) $$

より

$$ (y-x)\bigl(x^2+xy+y^2+x+y+2\bigr)=0 $$

を得る。

ここで

$$ x^2+xy+y^2+x+y+2 =\frac34\left(x+y+\frac23\right)^2+\frac14(x-y)^2+\frac53>0 $$

であるから，交点は $y=x$ を満たすものに限る。

したがって

$$ x=f(x) $$

より

$$ x=x^3+x^2+x \iff x^2(x+1)=0 $$

となるので，交点は

$$ (0,0),\ (-1,-1) $$

である。

また

$$ f(x)-x=x^3+x^2=x^2(x+1) $$

だから，$-1\le x\le 0$ では $f(x)\ge x$ である。よって面積は

$$ S=2\int_{-1}^{0}(f(x)-x)\,dx =2\int_{-1}^{0}(x^3+x^2)\,dx $$

となり，

$$ \begin{aligned} S &=2\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0} \\ &=2\left(0-\left(\frac14-\frac13\right)\right) \\ &=\frac16. \end{aligned} $$

（ii） $a=-1$ の場合

このとき

$$ f(x)=x^3+x^2-x $$

である。

まず $y=x$ 上の交点は

$$ x=f(x) \iff x=x^3+x^2-x \iff x(x+2)(x-1)=0 $$

より

$$ (-2,-2),\ (0,0),\ (1,1) $$

である。

次に $y\ne x$ の交点があるか調べる。先ほどと同様に両式を引くと

$$ (y-x)\bigl(x^2+xy+y^2+x+y\bigr)=0 $$

となるから，$y\ne x$ なら

$$ x^2+xy+y^2+x+y=0 $$

を満たす。

ここに $y=f(x)=x^3+x^2-x$ を代入すると

$$ x^2+x f(x)+f(x)^2+x+f(x)=0 $$

すなわち

$$ x^2(x^4+2x^3+2)=0 $$

となる。

ここで

$$ g(x)=x^4+2x^3+2 $$

とおくと

$$ g'(x)=4x^3+6x^2=2x^2(2x+3) $$

であるから，極小値は $x=-\dfrac32$ でとる。実際，

$$ g\left(-\frac32\right) =\frac{81}{16}-\frac{27}{4}+2 =\frac{5}{16}>0 $$

より，$g(x)>0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。したがって $y\ne x$ の実交点は存在しない。

よって交点は

$$ (-2,-2),\ (0,0),\ (1,1) $$

のみである。

また

$$ f(x)-x=x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1) $$

だから，

• $-2<x<0$ では $f(x)-x>0$
• $0<x<1$ では $f(x)-x<0$

である。

したがって，全体の面積は

$$ S=2\left(\int_{-2}^{0}(f(x)-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-f(x))\,dx\right) $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} S &=2\left(\int_{-2}^{0}(x^3+x^2-2x)\,dx+\int_{0}^{1}(-x^3-x^2+2x)\,dx\right) \\ &=2\left(\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-2}^{0} +\left[-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_{0}^{1}\right) \\ &=2\left(\frac83+\frac{5}{12}\right) \\ &=\frac{37}{6}. \end{aligned} $$

解説

曲線②は曲線①を直線 $y=x$ に関して折り返したものなので，面積は「曲線①と直線 $y=x$ の間の面積の $2$ 倍」と見ればよい。

まず原点での接線を比べて $a$ を定め，次に交点を求めて符号を調べれば面積が出る。$a=-1$ の場合は囲まれる部分が $2$ つに分かれる点に注意する。

答え

**(1)**

$$ a=1,\ -1 $$

**(2)**

$$ \begin{cases} a=1\ \text{のとき} & S=\dfrac16, \\ a=-1\ \text{のとき} & S=\dfrac{37}{6}. \end{cases} $$