解説

方針・初手

極値をとる $x$ 座標が与えられているので、まず導関数 $f'(x)$ の2つの解が $x=-\dfrac{2}{3},,2$ であることを用いる。

すなわち、$f'(x)$ をその2点を根にもつ2次式として表し、係数比較によって $a,b$ を求める。その後、極大値・極小値は $f(x)$ に代入して求める。

（2） は $y=f'(x)+\dfrac{7}{3}$ が上に開く放物線になるので、$x$ 軸との交点を求め、符号を確認して定積分で面積を出す。

解法1

$f(x)=x^3-ax^2+bx+3$ であるから、

$$ f'(x)=3x^2-2ax+b $$

である。

関数 $f(x)$ は $x=-\dfrac{2}{3},,2$ で極値をとるので、

$$ f'\left(-\dfrac{2}{3}\right)=0,\qquad f'(2)=0 $$

が成り立つ。したがって、$f'(x)$ は $x=-\dfrac{2}{3},,2$ を解にもつ2次式であり、最高次の係数は $3$ だから、

$$ f'(x)=3\left(x+\dfrac{2}{3}\right)(x-2) $$

と書ける。展開すると、

$$ f'(x)=3x^2-4x-4 $$

である。

一方、

$$ f'(x)=3x^2-2ax+b $$

でもあるから、係数比較により

$$ -2a=-4,\qquad b=-4 $$

となる。よって

$$ a=2,\qquad b=-4 $$

である。

したがって、

$$ f(x)=x^3-2x^2-4x+3 $$

となる。

（1） 極大値・極小値を求める。

まず、

$$ f''(x)=6x-4 $$

であるから、

$$ f''\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-8<0 $$

より $x=-\dfrac{2}{3}$ で極大、

$$ f''(2)=8>0 $$

より $x=2$ で極小である。

次に、それぞれの値を求める。

$$ \begin{aligned} f\left(-\dfrac{2}{3}\right) &=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3-2\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2-4\left(-\dfrac{2}{3}\right)+3 \\ &=-\dfrac{8}{27}-\dfrac{8}{9}+\dfrac{8}{3}+3 \\ &=\dfrac{-8-24+72+81}{27} \\ &=\dfrac{121}{27} \end{aligned} $$

また、

$$ f(2)=2^3-2\cdot 2^2-4\cdot 2+3=8-8-8+3=-5 $$

である。

したがって、極大値は $\dfrac{121}{27}$、極小値は $-5$ である。

（2） 曲線 $y=f'(x)+\dfrac{7}{3}$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

$f'(x)=3x^2-4x-4$ であるから、

$$ y=f'(x)+\dfrac{7}{3}=3x^2-4x-\dfrac{5}{3} $$

となる。これを因数分解すると、

$$ 3x^2-4x-\dfrac{5}{3}=(3x+1)\left(x-\dfrac{5}{3}\right) $$

であるから、$x$ 軸との交点の $x$ 座標は

$$ x=-\dfrac{1}{3},\qquad x=\dfrac{5}{3} $$

である。

また、

$$ 3x^2-4x-\dfrac{5}{3}=3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2-3 $$

と変形できるので、$-\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{5}{3}$ ではこの値は負である。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=-\int_{-1/3}^{5/3}\left(3x^2-4x-\dfrac{5}{3}\right),dx $$

である。

ここで $t=x-\dfrac{2}{3}$ とおくと、積分区間は $-1\le t\le 1$ となり、

$$ \begin{aligned} S &=\int_{-1/3}^{5/3}\left\{3-3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2\right\},dx \\ &=3\int_{-1}^{1}(1-t^2),dt \\ &=3\left[t-\dfrac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1} \\ &=3\left\{\left(1-\dfrac{1}{3}\right)-\left(-1+\dfrac{1}{3}\right)\right\} \\ &=3\cdot \dfrac{4}{3} \\ &=4 \end{aligned} $$

よって、面積は $4$ である。

解説

この問題の要点は、「極値をとる $x$ 座標」が分かっているとき、導関数の根として処理することである。3次関数の係数を直接求めようとするよりも、まず $f'(x)$ を

$$ 3\left(x+\dfrac{2}{3}\right)(x-2) $$

と置くのが最も自然である。

また （2） では、$f'(x)+\dfrac{7}{3}$ をそのまま積分してもよいが、

$$ 3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2-3 $$

と平方完成すると、放物線の軸が $x=\dfrac{2}{3}$、交点がそこから左右対称に1だけ離れていることが分かり、面積計算がかなり簡潔になる。

答え

**(1)**

$$ a=2,\qquad b=-4 $$

極大値は

$$ \dfrac{121}{27} $$

極小値は

$$ -5 $$

**(2)**

面積は

$$ 4 $$