解説

方針・初手

直線の $x$ 切片を $a$、$y$ 切片を $b$ とおくと、直線は切片形

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $$

と表せる。

また、この直線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる図形は直角三角形であるから、その面積条件から $a,b$ の関係式が得られる。さらに、点 $(1,3)$ を通る条件を使って連立して解けばよい。

解法1

直線の $x$ 切片を $a$、$y$ 切片を $b$ とする。ただし、傾きが負であり、$x$ 軸・$y$ 軸と囲まれる図形を考えているので、

$$ a>0,\quad b>0 $$

である。

このとき直線の方程式は

$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $$

と書ける。

点 $(1,3)$ を通るので、

$$ \frac{1}{a}+\frac{3}{b}=1 $$

が成り立つ。

一方、この直線と座標軸で囲まれる三角形の面積は

$$ \frac{1}{2}ab=9 $$

であるから、

$$ ab=18 $$

を得る。

ここで、

$$ \frac{1}{a}+\frac{3}{b}=1 $$

の両辺に $ab$ を掛けると、

$$ b+3a=ab $$

となる。さらに $ab=18$ より、

$$ b+3a=18 $$

である。したがって、

$$ b=18-3a $$

を得る。

これを $ab=18$ に代入すると、

$$ a(18-3a)=18 $$

すなわち

$$ 3a^2-18a+18=0 $$

となる。両辺を $3$ で割って、

$$ a^2-6a+6=0 $$

よって、

$$ a=3\pm\sqrt{3} $$

である。

このとき

$$ b=18-3a $$

より、

**(i)**

$a=3+\sqrt{3}$ のとき

$$ b=18-3(3+\sqrt{3})=9-3\sqrt{3} $$

**(ii)**

$a=3-\sqrt{3}$ のとき

$$ b=18-3(3-\sqrt{3})=9+3\sqrt{3} $$

したがって、求める切片は

$$ (a,b)=(3+\sqrt{3},,9-3\sqrt{3}),\quad (3-\sqrt{3},,9+3\sqrt{3}) $$

の2通りである。

解説

この問題では、直線の傾きそのものを文字でおくよりも、$x$ 切片・$y$ 切片を直接文字でおく方が自然である。

なぜなら、面積条件が

$$ \frac{1}{2}\times x\text{切片}\times y\text{切片} $$

とそのまま使えるからである。

また、条件を満たす直線は1本とは限らず、実際に2通り存在する。途中で1つだけ求まって安心して止めると失点しやすい問題である。

答え

$x$ 切片、$y$ 切片はそれぞれ次の2通りである。

$$ x\text{切片}=3+\sqrt{3},\quad y\text{切片}=9-3\sqrt{3} $$

または

$$ x\text{切片}=3-\sqrt{3},\quad y\text{切片}=9+3\sqrt{3} $$