解説

方針・初手

囲まれた部分の面積を求めるには、まず 2 つの曲線の交点の $x$ 座標を求め、どちらが上側の曲線かを確認してから、その差を積分すればよい。

解法1

2 つの曲線の交点は

$$ -x^2+4x-2=x^2-4x+4 $$

を解いて求める。

整理すると

$$ -2x^2+8x-6=0 $$

$$ x^2-4x+3=0 $$

$$ (x-1)(x-3)=0 $$

より、交点の $x$ 座標は

$$ x=1,\ 3 $$

である。

次に、2 つの曲線の大小関係を調べる。

$$ (-x^2+4x-2)-(x^2-4x+4) =-2x^2+8x-6 =-2(x-1)(x-3) $$

したがって、$1<x<3$ では

$$ -2(x-1)(x-3)>0 $$

となるので、この区間では

$$ y=-x^2+4x-2 $$

が上側、

$$ y=x^2-4x+4 $$

が下側である。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_1^3\left\{(-x^2+4x-2)-(x^2-4x+4)\right\}dx $$

$$ =\int_1^3(-2x^2+8x-6),dx $$

これを積分すると

$$ S=\left[-\frac{2}{3}x^3+4x^2-6x\right]_1^3 $$

$$ =\left(-\frac{2}{3}\cdot 27+4\cdot 9-6\cdot 3\right) -\left(-\frac{2}{3}\cdot 1+4\cdot 1-6\cdot 1\right) $$

$$ =( -18+36-18)-\left(-\frac{2}{3}+4-6\right) $$

$$ =0-\left(-\frac{8}{3}\right) =\frac{8}{3} $$

したがって、求める面積は

$$ \frac{8}{3} $$

である。

解説

囲まれた部分の面積では、まず交点を求めて積分区間を決めることが基本である。

そのうえで、上側の曲線から下側の曲線を引いて積分する。今回は差をとると $-2(x-1)(x-3)$ となるので、区間 $1<x<3$ で正になることから、上側と下側を確実に判定できる。

答え

求める面積は

$$ \frac{8}{3} $$

である。