解説

方針・初手

まず2つの放物線の交点を求め、どの区間で囲まれた図形ができるかを確認する。

交点が分かれば、2曲線の差を積分して面積を表せる。今回は交点が対称に現れるので、面積は比較的簡単に計算できる。

解法1

2つの放物線

$$ y=x^2,\qquad y=\alpha x^2-\alpha+1 $$

の交点は、

$$ x^2=\alpha x^2-\alpha+1 $$

より、

$$ (1-\alpha)x^2=1-\alpha $$

を満たす。

ここで $\alpha\neq 1$ であるから、両辺を $1-\alpha$ で割れて

$$ x^2=1 $$

となる。したがって交点の $x$ 座標は

$$ x=\pm 1 $$

である。

次に、2曲線の差を調べる。

$$ \left(\alpha x^2-\alpha+1\right)-x^2 =(\alpha-1)x^2-\alpha+1 =(\alpha-1)(x^2-1) =(1-\alpha)(1-x^2) $$

である。

区間 $-1\le x\le 1$ では $1-x^2\ge 0$ だから、囲まれた部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1}^1 |(1-\alpha)(1-x^2)|,dx =|1-\alpha|\int_{-1}^1 (1-x^2),dx $$

となる。

ここで

$$ \int_{-1}^1 (1-x^2),dx =\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1 =\left(1-\frac13\right)-\left(-1+\frac13\right) =\frac43 $$

より、

$$ S=\frac43|1-\alpha| $$

を得る。

問題の条件より $S=2$ であるから、

$$ \frac43|1-\alpha|=2 $$

すなわち

$$ |1-\alpha|=\frac32 $$

である。

よって

$$ 1-\alpha=\frac32 \quad \text{または} \quad 1-\alpha=-\frac32 $$

より、

$$ \alpha=-\frac12 \quad \text{または} \quad \alpha=\frac52 $$

となる。

解説

この問題の要点は、まず交点を求めて積分区間を確定することである。

交点の計算では $\alpha\neq 1$ を用いると $x^2=1$ が直ちに出る。そのあと2曲線の差が

$$ (1-\alpha)(1-x^2) $$

ときれいに因数分解できるため、面積は $\int_{-1}^1(1-x^2),dx$ に定数倍を掛けた形になる。

上下関係は $\alpha$ の大小によって入れ替わるので、絶対値を付けて処理するのが確実である。

答え

$$ \alpha=-\frac12,\ \frac52 $$