解説

方針・初手

原点を通る接線を $y=mx$ とおく。放物線 $y=x^2+2x+k$ と接する条件は，連立して得られる2次方程式の判別式が $0$ となることである。

その後，接点の $x$ 座標を用いると，放物線と接線との差が平方の形にまとまり，面積を簡単に計算できる。

解法1

原点を通る直線を

$$ y=mx $$

とおく。これが放物線

$$ y=x^2+2x+k $$

に接するとき，両式を連立して

$$ x^2+(2-m)x+k=0 $$

を得る。接するためには重解をもつから，判別式を $0$ として

$$ (2-m)^2-4k=0 $$

すなわち

$$ m=2\pm 2\sqrt{k} $$

となる。したがって原点から引いた2本の接線の傾きは

$$ m_1=2+2\sqrt{k},\qquad m_2=2-2\sqrt{k} $$

である。

これらが互いに垂直だから

$$ m_1m_2=-1 $$

より

$$ (2+2\sqrt{k})(2-2\sqrt{k})=-1 $$

すなわち

$$ 4-4k=-1 $$

だから

$$ k=\frac54 $$

である。

次に面積を求める。$k=\dfrac54$ のとき，接線の傾きは

$$ m_1=2+\sqrt5,\qquad m_2=2-\sqrt5 $$

である。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると，放物線 $y=x^2+2x+\dfrac54$ の接線は

$$ y=(2t+2)x-t^2+\frac54 $$

である。これが原点を通るので

$$ 0=-t^2+\frac54 $$

より

$$ t=\pm \frac{\sqrt5}{2} $$

となる。

ここで

$$ a=\frac{\sqrt5}{2} $$

とおく。すると右側の接線は $x=a$ における接線，左側の接線は $x=-a$ における接線である。

右側の接線は

$$ y=(2+2a)x $$

であり，放物線との差は

$$ x^2+2x+\frac54-(2+2a)x=x^2-2ax+a^2=(x-a)^2 $$

となる。

同様に左側の接線は

$$ y=(2-2a)x $$

であり，放物線との差は

$$ x^2+2x+\frac54-(2-2a)x=x^2+2ax+a^2=(x+a)^2 $$

となる。

したがって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-a}^{0}(x+a)^2\,dx+\int_{0}^{a}(x-a)^2\,dx $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S &=\left[\frac{(x+a)^3}{3}\right]_{-a}^{0} +\left[\frac{(x-a)^3}{3}\right]_{0}^{a} \\ &=\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3} \\ &=\frac{2a^3}{3}. \end{aligned} $$

ここで

$$ a=\frac{\sqrt5}{2} $$

だから

$$ a^3=\left(\frac{\sqrt5}{2}\right)^3=\frac{5\sqrt5}{8} $$

より

$$ S=\frac{2}{3}\cdot \frac{5\sqrt5}{8}=\frac{5\sqrt5}{12} $$

である。

解説

原点を通る接線を $y=mx$ とおけば，接する条件は判別式 $0$ で処理できる。

面積では，放物線と接線との差が $(x-a)^2,\ (x+a)^2$ の形になるところがポイントで，ここまで整理できれば積分は一気に終わる。

答え

**(1)**

$$ k=\frac54 $$

**(2)**

$$ \frac{5\sqrt5}{12} $$