解説

方針・初手

まず，曲線 $y=ax(1-x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分全体の面積を求める。

つぎに，その部分を曲線 $y=x^2$ がどのように分けるかを考える。$y=x^2$ は原点で $y=ax(1-x)$ と交わり，さらにもう1点で交わるので，その2曲線で囲まれる部分の面積が，全体の面積の半分になればよい。

解法1

曲線 $y=ax(1-x)$ は

$$ y=ax-ax^2 $$

であり，$x=0,1$ で $x$ 軸と交わる。したがって，$x$ 軸と囲む部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 ax(1-x),dx =a\int_0^1 (x-x^2),dx =a\left(\frac12-\frac13\right) =\frac{a}{6} $$

である。

次に，$y=ax(1-x)$ と $y=x^2$ の交点を求める。

$$ ax(1-x)=x^2 $$

より，

$$ ax-ax^2=x^2 $$

$$ x\bigl(a-(a+1)x\bigr)=0 $$

したがって，

$$ x=0,\quad x=\frac{a}{a+1} $$

である。よって，2曲線で囲まれる部分は $0\le x\le \dfrac{a}{a+1}$ にある。

この部分の面積を $T$ とすると，

$$ T=\int_0^{\frac{a}{a+1}}\bigl(ax(1-x)-x^2\bigr),dx \right. $$

である。被積分関数を整理すると，

$$ ax(1-x)-x^2=ax-(a+1)x^2 =x\bigl(a-(a+1)x\bigr) $$

であるから，

$$ T=\int_0^{\frac{a}{a+1}} \left(ax-(a+1)x^2\right),dx $$

$$ =\left[\frac{a}{2}x^2-\frac{a+1}{3}x^3\right]_0^{\frac{a}{a+1}} $$

$$ =\frac{a}{2}\left(\frac{a}{a+1}\right)^2-\frac{a+1}{3}\left(\frac{a}{a+1}\right)^3 $$

$$ =\frac{a^3}{2(a+1)^2}-\frac{a^3}{3(a+1)^2} =\frac{a^3}{6(a+1)^2} $$

問題の条件より，この面積が全体の面積の半分であるから，

$$ \frac{a^3}{6(a+1)^2}=\frac12\cdot \frac{a}{6} $$

すなわち，

$$ \frac{a^3}{6(a+1)^2}=\frac{a}{12} $$

である。$a>0$ より両辺を $a$ で割ると，

$$ \frac{a^2}{6(a+1)^2}=\frac{1}{12} $$

$$ 2a^2=(a+1)^2 $$

$$ 2a^2=a^2+2a+1 $$

$$ a^2-2a-1=0 $$

よって，

$$ a=1\pm \sqrt2 $$

である。ここで $a>0$ だから，

$$ a=1+\sqrt2 $$

となる。

解説

この問題の要点は，「$y=x^2$ が全体の面積を2等分する」という条件を，2曲線で囲まれる部分の面積が全体の半分である，と正しく読み替えることである。

全体の面積を先に求め，次に交点を出してから，2曲線の差を積分する流れが最も自然である。交点の $x$ 座標が $\dfrac{a}{a+1}$ になるので，積分区間をそこまでに限定することが重要である。

答え

$$ a=1+\sqrt2 $$