解説

方針・初手

交点の $x$ 座標は、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+k$ を連立して得られる二次方程式の解である。したがって、（1） は「二次方程式が異なる2実根をもち、その2根がともに $-2<x<2$ に入る条件」を調べればよい。

また （2） では、2つのグラフの上下関係が交点で入れ替わるので、面積の和は

$$ \int_{-2}^{2}\lvert x^2-x-k\rvert,dx $$

として求めるのが自然である。

解法1

**(1)**

$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標は

$$ x^2=x+k $$

すなわち

$$ x^2-x-k=0 $$

の解である。

この二次方程式が異なる2実根をもつための条件は、判別式を用いて

$$ (-1)^2-4\cdot 1\cdot (-k)=1+4k>0 $$

より

$$ k>-\frac14 $$

である。

2解は

$$ x=\frac{1\pm \sqrt{1+4k}}{2} $$

であるから、大きい方の解が $2$ 未満である条件は

$$ \frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}<2 $$

すなわち

$$ \sqrt{1+4k}<3 $$

より

$$ 1+4k<9 $$

$$ k<2 $$

である。

このとき $\sqrt{1+4k}<3$ であるから、小さい方の解についても

$$ \frac{1-\sqrt{1+4k}}{2}>\frac{1-3}{2}=-1>-2 $$

となり、2解はともに $-2<x<2$ に入る。

したがって、求める条件は

$$ -\frac14<k<2 $$

である。

**(2)**

（1） の条件のもとで、交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta$ とすると

$$ \alpha=\frac{1-\sqrt{1+4k}}{2},\qquad \beta=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2} $$

であり、$-2<\alpha<\beta<2$ である。

また

$$ x^2-(x+k)=x^2-x-k=(x-\alpha)(x-\beta) $$

であるから、$x^2-x-k$ は区間 $[-2,\alpha]$ と $[\beta,2]$ で正、$[\alpha,\beta]$ で負である。よって、求める面積の和 $S$ は

$$ S=\int_{-2}^{\alpha}(x^2-x-k),dx+\int_{\alpha}^{\beta}-(x^2-x-k),dx+\int_{\beta}^{2}(x^2-x-k),dx $$

となる。

ここで

$$ x^2-x-k=\left(x-\frac12\right)^2-\left(k+\frac14\right) $$

と平方完成し、

$$ a=\sqrt{k+\frac14}=\frac{\sqrt{4k+1}}{2} $$

とおくと

$$ \alpha=\frac12-a,\qquad \beta=\frac12+a $$

である。

したがって

$$ S=\int_{-2}^{2}(x^2-x-k),dx-2\int_{\alpha}^{\beta}(x^2-x-k),dx $$

と書ける。

まず

$$ \int_{-2}^{2}(x^2-x-k),dx =\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-kx\right]_{-2}^{2} =\frac{16}{3}-4k $$

である。

次に、$u=x-\dfrac12$ とおくと、$x=\alpha$ のとき $u=-a$、$x=\beta$ のとき $u=a$ であり、

$$ \int_{\alpha}^{\beta}(x^2-x-k),dx =\int_{-a}^{a}(u^2-a^2),du $$

となる。これを計算すると

$$ \int_{-a}^{a}(u^2-a^2),du =2\int_{0}^{a}(u^2-a^2),du =2\left[\frac{u^3}{3}-a^2u\right]_{0}^{a} =-\frac{4}{3}a^3 $$

である。

よって

$$ S=\left(\frac{16}{3}-4k\right)-2\left(-\frac{4}{3}a^3\right) =\frac{16}{3}-4k+\frac{8}{3}a^3 $$

となる。さらに

$$ a=\frac{\sqrt{4k+1}}{2} $$

より

$$ \frac{8}{3}a^3 =\frac{8}{3}\cdot \frac{(4k+1)^{3/2}}{8} =\frac{(4k+1)^{3/2}}{3} $$

であるから、

$$ S=\frac{16}{3}-4k+\frac{(4k+1)^{3/2}}{3} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、交点の条件を二次方程式の解の条件に言い換えることである。特に （1） では、判別式だけでなく、2解がともに指定区間 $-2<x<2$ に入ることまで確認する必要がある。

また （2） では、面積をそのまま3つに分けて積分してもよいが、

$$ x^2-x-k=\left(x-\frac12\right)^2-\left(k+\frac14\right) $$

と平方完成すると交点が $\dfrac12\pm a$ の形になり、中央部分の積分を対称性で簡単に処理できる。ここが計算を整理するうえで重要な点である。

答え

**(1)**

$$ -\frac14<k<2 $$

**(2)**

$$ S=\frac{16}{3}-4k+\frac{(4k+1)^{3/2}}{3} $$