解説

方針・初手

点 $A(a,a^2)$ における接線の傾きを求め，それを $-30^\circ$ 回転した直線 $l$ の傾きを三角関数の公式で出す。

その後，$l$ と放物線 $y=x^2$ のもう一つの交点 $B$ を求める。面積 $S(a)$ はそのまま積分で求まり，$T(a)$ は直線と放物線の差が因数分解できるので計算しやすい。

解法1

放物線 $y=x^2$ の導関数は

$$ \frac{dy}{dx}=2x $$

であるから，点 $A(a,a^2)$ における接線の傾きは $2a$ である。

この接線が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とすると

$$ \tan\theta=2a $$

である。これを $A$ を中心に $-30^\circ$ 回転した直線 $l$ の傾き $m$ は

$$ m=\tan\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right) $$

だから，

$$ m=\frac{\tan\theta-\tan\frac{\pi}{6}}{1+\tan\theta\tan\frac{\pi}{6}} =\frac{2a-\frac1{\sqrt3}}{1+\frac{2a}{\sqrt3}} =\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3} $$

となる。したがって

$$ l:\ y-a^2=\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3}(x-a) $$

である。

（1） $l$ と放物線の交点 $B$

$l$ と $y=x^2$ の交点は

$$ x^2-a^2=\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3}(x-a) $$

を満たす。

左辺を因数分解すると

$$ (x-a)(x+a)=\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3}(x-a) $$

となるので，$x=a$ のほかに

$$ x+a=\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3} $$

を満たす解がある。よって，もう一つの交点 $B$ の $x$ 座標を $b$ とすると

$$ b=\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3}-a $$

である。

（2） $S(a)$ を求める

$O=(0,0)$，$C=(a,0)$，$A=(a,a^2)$ であるから，線分 $OC,\ CA$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれる部分の面積は

$$ S(a)=\int_0^a x^2\,dx=\frac{a^3}{3} $$

である。

$T(a)$ を求める

直線 $AB$ は $A(a,a^2)$ と $B(b,b^2)$ を通るから，

$$ y_\ell-x^2 $$

は $x=a,b$ で $0$ になる2次式である。実際，

$$ y_\ell=m(x-a)+a^2 $$

とおくと，

$$ y_\ell-x^2=-(x-a)(x-b) $$

となる。

よって，線分 $AB$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれる面積は

$$ T(a)=\int_b^a (y_\ell-x^2)\,dx =\int_b^a -(x-a)(x-b)\,dx $$

である。

ここで $d=a-b$，$u=x-b$ とおくと

$$ T(a)=\int_0^d u(d-u)\,du=\frac{d^3}{6} $$

だから，

$$ T(a)=\frac{(a-b)^3}{6} $$

となる。

また

$$ \begin{aligned} a-b &=a-\left(\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3}-a\right) \\ &=2a-\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3} \\ &=\frac{2a(2a+\sqrt3)-(2\sqrt3 a-1)}{2a+\sqrt3} \\ &=\frac{4a^2+1}{2a+\sqrt3}. \end{aligned} $$

したがって

$$ T(a)=\frac16\left(\frac{4a^2+1}{2a+\sqrt3}\right)^3 $$

である。

よって

$$ \frac{T(a)}{S(a)} =\frac{\frac16\left(\frac{4a^2+1}{2a+\sqrt3}\right)^3}{\frac{a^3}{3}} =\frac{(4a^2+1)^3}{2a^3(2a+\sqrt3)^3} $$

となるから，

$$ \lim_{a\to\infty}\frac{T(a)}{S(a)} =\lim_{a\to\infty}\frac{(4a^2+1)^3}{2a^3(2a+\sqrt3)^3} =\frac{4^3}{2\cdot 2^3} =4 $$

である。

解説

回転後の直線の傾きは

$$ \tan\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right) $$

で処理するのが自然である。

また，放物線とそれを切る直線との差は，交点の $x$ 座標を使って $-(x-a)(x-b)$ と書ける。これにより $T(a)$ が一気に計算できる。

答え

**(1)**

$$ l:\ y-a^2=\frac{2\sqrt3 a-1}{2a+\sqrt3}(x-a) $$

**(2)**

$$ S(a)=\frac{a^3}{3},\qquad T(a)=\frac16\left(\frac{4a^2+1}{2a+\sqrt3}\right)^3 $$

したがって

$$ \lim_{a\to\infty}\frac{T(a)}{S(a)}=4 $$