解説

方針・初手

直線 $l$ が $x$ 軸、$y$ 軸の正の部分と交わるので、$x$ 切片と $y$ 切片をそれぞれ正の数としておけば、直線の式を切片形で表せる。

そこで、$x$ 切片を $\alpha$、$y$ 切片を $\beta$ として

$$ \frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=1 \qquad (\alpha>0,\ \beta>0) $$

とおく。これが点 $P(a,b)$ を通る条件を使って、面積

$$ S=\frac12 \alpha\beta $$

を最小にすればよい。

解法1

点 $P(a,b)$ は第1象限にあるから

$$ a>0,\quad b>0 $$

である。

直線 $l$ の $x$ 切片を $\alpha$、$y$ 切片を $\beta$ とすると、$l$ の方程式は

$$ \frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=1 \qquad (\alpha>0,\ \beta>0) $$

と書ける。

この直線が $P(a,b)$ を通るので、

$$ \frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}=1 $$

が成り立つ。

ここで

$$ u=\frac{a}{\alpha},\quad v=\frac{b}{\beta} $$

とおくと、$u>0,\ v>0$ であり、

$$ u+v=1 $$

である。また、

$$ \alpha=\frac{a}{u},\quad \beta=\frac{b}{v} $$

だから、面積 $S$ は

$$ S=\frac12 \alpha\beta =\frac12 \cdot \frac{a}{u}\cdot \frac{b}{v} =\frac{ab}{2uv} $$

となる。

したがって、$S$ を最小にするには $uv$ を最大にすればよい。

ところが、$u+v=1$ より

$$ uv\leqq \left(\frac{u+v}{2}\right)^2=\frac14 $$

であるから、

$$ S=\frac{ab}{2uv}\geqq \frac{ab}{2\cdot \frac14}=2ab $$

を得る。

等号成立は

$$ u=v=\frac12 $$

のときである。このとき

$$ \frac{a}{\alpha}=\frac12,\quad \frac{b}{\beta}=\frac12 $$

より

$$ \alpha=2a,\quad \beta=2b $$

となる。

よって、このときの直線 $l$ は

$$ \frac{x}{2a}+\frac{y}{2b}=1 $$

すなわち

$$ bx+ay=2ab $$

である。

以上より、面積の最小値は

$$ 2ab $$

である。

解法2

$x$ 軸との交点を $(t,0)$ とする。ただし、直線が点 $P(a,b)$ を通り、しかも $y$ 軸の正の部分とも交わるためには $t>a$ である。

このとき、直線 $l$ の傾きは

$$ \frac{0-b}{t-a}=-\frac{b}{t-a} $$

であるから、点 $P(a,b)$ を通ることより

$$ y-b=-\frac{b}{t-a}(x-a) $$

となる。

この直線の $y$ 切片を求めるために $x=0$ を代入すると、

$$ y=b+\frac{ab}{t-a}=\frac{bt}{t-a} $$

である。

したがって、三角形の面積 $S$ は

$$ S=\frac12 \cdot t \cdot \frac{bt}{t-a} =\frac{bt^2}{2(t-a)} $$

となる。

ここで

$$ T=t-a \quad (T>0) $$

とおくと $t=a+T$ であるから、

$$ S=\frac{b(a+T)^2}{2T} =\frac{b}{2}\left(T+2a+\frac{a^2}{T}\right) $$

となる。

相加平均と相乗平均の関係より、

$$ T+\frac{a^2}{T}\geqq 2a $$

であるから、

$$ S\geqq \frac{b}{2}(2a+2a)=2ab $$

を得る。

等号成立は

$$ T=a $$

すなわち

$$ t=2a $$

のときである。このとき $y$ 切片は

$$ \frac{bt}{t-a}=\frac{b\cdot 2a}{a}=2b $$

だから、直線 $l$ の方程式は

$$ \frac{x}{2a}+\frac{y}{2b}=1 $$

すなわち

$$ bx+ay=2ab $$

である。

解説

この問題の本質は、直線を「切片」で表すことである。直線が座標軸の正の部分と交わるという条件は、切片 $\alpha,\beta$ を正として切片形

$$ \frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}=1 $$

を使うと自然に処理できる。

そのうえで、点 $P(a,b)$ を通る条件から変数の間に1本の関係式を作り、面積 $\frac12\alpha\beta$ を最小化する。解法1では $u+v=1$ のもとで $uv$ の最大を考える典型処理であり、最も見通しがよい。解法2は $x$ 切片を1つの変数として面積を直接表し、不等式で最小化する方法である。

いずれの方法でも、最小となるのは $P(a,b)$ がちょうど切片を結ぶ線分の中点になる場合、すなわち切片が $(2a,0)$、$(0,2b)$ となる場合である。

答え

面積の最小値は

$$ 2ab $$

そのときの直線 $l$ の方程式は

$$ \frac{x}{2a}+\frac{y}{2b}=1 $$

すなわち

$$ bx+ay=2ab $$

である。