解説

方針・初手

放物線 $C:y=x^2+\dfrac12$ の接線の傾きは微分により求まる。点 $A$ における接線に垂直な直線 $l$ の傾きが分かれば、まずその方程式を立てられる。

つぎに、$l$ の $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求めて条件 $x>4a$ を式に直す。

面積は、放物線と直線 $l$ の上下関係を確認したうえで、$x=a$ から $x=4a$ までの定積分で表す。

解法1

放物線 $C$ は

$$ y=x^2+\frac12 $$

であるから、その導関数は

$$ y'=2x $$

である。

したがって、点 $A\left(a,a^2+\dfrac12\right)$ における接線の傾きは $2a$ である。よって、これに垂直な直線 $l$ の傾きは

$$ -\frac{1}{2a} $$

となる。

（1） 直線 $l$ の方程式

点 $A\left(a,a^2+\dfrac12\right)$ を通り、傾き $-\dfrac{1}{2a}$ の直線であるから、

$$ y-\left(a^2+\frac12\right)=-\frac{1}{2a}(x-a) $$

である。

これを整理すると、

$$ y=a^2+1-\frac{x}{2a} $$

となる。

（2） $a$ の範囲

直線 $l$ の $x$ 軸との交点を求めるため、$y=0$ とおくと、

$$ 0=a^2+1-\frac{x}{2a} $$

より、

$$ x=2a(a^2+1) $$

となる。

問題の条件より、この交点は $x$ 軸の $x>4a$ の部分にあるので、

$$ 2a(a^2+1)>4a $$

が成り立つ。ここで $a>0$ であるから、両辺を $2a$ で割って

$$ a^2+1>2 $$

すなわち

$$ a^2>1 $$

を得る。さらに $a>0$ より、

$$ a>1 $$

である。

（3） 面積

放物線と直線 $l$ の差をとると、

$$ \left(x^2+\frac12\right)-\left(a^2+1-\frac{x}{2a}\right) = x^2+\frac{x}{2a}-a^2-\frac12 $$

である。

$x=a$ のとき両者は点 $A$ で一致するので、この式は $(x-a)$ を因数にもつ。実際、

$$ x^2+\frac{x}{2a}-a^2-\frac12 =(x-a)\left(x+a+\frac{1}{2a}\right) $$

と因数分解できる。

ここで （2） より $a>1$ であり、求める範囲では $x\ge a$ であるから、

$$ (x-a)\left(x+a+\frac{1}{2a}\right)\ge 0 $$

となる。したがって、$x=a$ から $x=4a$ までは放物線が直線 $l$ より上にある。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_a^{4a}\left\{\left(x^2+\frac12\right)-\left(a^2+1-\frac{x}{2a}\right)\right\}\,dx $$

である。

すなわち、

$$ S=\int_a^{4a}\left(x^2+\frac{x}{2a}-a^2-\frac12\right),dx $$

となる。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{4a}-\left(a^2+\frac12\right)x\right]_a^{4a} \\ &=\left(\frac{64a^3}{3}+4a-4a^3-2a\right) -\left(\frac{a^3}{3}+\frac{a}{4}-a^3-\frac{a}{2}\right) \\ &=18a^3+\frac{9a}{4}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ S=\frac{9a}{4}(8a^2+1) $$

である。

解説

この問題の要点は、法線の傾きを「接線の傾きの負の逆数」としてすぐに出すことである。放物線上の点での接線の傾きは微分で直ちに求まるので、まず直線 $l$ の式を立てるのが自然である。

また、面積では放物線と直線の上下関係を確認する必要がある。交点が $x=a$ のみであること、あるいは差が

$$ (x-a)\left(x+a+\frac{1}{2a}\right) $$

と因数分解できることを見ると、積分区間でどちらが上かが明確になる。

答え

**(1)**

$$ y-\left(a^2+\frac12\right)=-\frac{1}{2a}(x-a) $$

すなわち

$$ y=a^2+1-\frac{x}{2a} $$

**(2)**

$$ a>1 $$

**(3)**

面積は

$$ 18a^3+\frac{9a}{4} $$

すなわち

$$ \frac{9a}{4}(8a^2+1) $$

である。