解説

方針・初手

両関数はともに $x=3a$ を軸として対称である。したがって $t=|x-3a|$ とおくと式が整理できる。まずこの置き換えで交点を求め，そのあと対称性を用いて面積を計算する。

解法1

**(1)**

$t=|x-3a|$ とおくと $t\ge 0$ であり，

$$ f(x)=|t-a| $$

である。よって方程式 $f(x)=a$ は

$$ |t-a|=a $$

となる。

したがって

$$ t-a=\pm a $$

より

$$ t=0,\ 2a $$

である。もとの変数に戻すと，

$$ |x-3a|=0,\ 2a $$

より

$$ x=3a,\ a,\ 5a $$

である。

**(2)**

まず $f(x)$ を区分的に書くと，

$$ f(x)= \begin{cases} -x+2a & (x\le 2a),\\ x-2a & (2a\le x\le 3a),\\ -x+4a & (3a\le x\le 4a),\\ x-4a & (x\ge 4a) \end{cases} $$

である。

一方，

$$ g(x)=-x^2+6ax-5a^2+a =-(x-3a)^2+4a^2+a $$

であるから，$g(x)$ も $x=3a$ を軸とする放物線である。

交点を求めるため，$t=|x-3a|$ とおく。すると

$$ g(x)=-t^2+4a^2+a $$

であり，$f(x)$ は

$$ f(x)= \begin{cases} a-t & (0\le t\le a),\\ t-a & (t\ge a) \end{cases} $$

となる。

まず （i） $0\le t\le a$ のとき，

$$ -t^2+4a^2+a=a-t $$

より

$$ t^2-t-4a^2=0 $$

となる。この正の解は

$$ t=\frac{1+\sqrt{1+16a^2}}{2} $$

であるが，これは $a$ より大きいので，この範囲には解をもたない。

次に （ii） $t\ge a$ のとき，

$$ -t^2+4a^2+a=t-a $$

より

$$ t^2+t-2a(2a+1)=0 $$

すなわち

$$ (t-2a)(t+2a+1)=0 $$

となる。$t\ge 0$ であるから

$$ t=2a $$

である。

よって交点は

$$ |x-3a|=2a $$

すなわち

$$ x=a,\ 5a $$

である。また，

$$ g(3a)=4a^2+a,\qquad f(3a)=a $$

より $g(3a)>f(3a)$ であるから，囲まれた部分は $x=a$ から $x=5a$ までの間にある。

したがって面積 $S$ は

$$ S=\int_a^{5a}{g(x)-f(x)},dx $$

である。

ここで $u=x-3a$ とおくと，

$$ \int_a^{5a}g(x),dx =\int_{-2a}^{2a}\left(-u^2+4a^2+a\right),du =\left[-\frac{u^3}{3}+(4a^2+a)u\right]_{-2a}^{2a} =\frac{32}{3}a^3+4a^2 $$

となる。

また，$y=f(x)$ のグラフを $x=a$ から $x=5a$ まで見ると，頂点は

$$ (a,a),\ (2a,0),\ (3a,a),\ (4a,0),\ (5a,a) $$

であり，底辺 $a$，高さ $a$ の直角三角形が 4 個並んでいる。したがって

$$ \int_a^{5a}f(x),dx =4\cdot \frac{a\cdot a}{2} =2a^2 $$

である。

よって

$$ S=\left(\frac{32}{3}a^3+4a^2\right)-2a^2 =\frac{32}{3}a^3+2a^2 =\frac{2a^2(16a+3)}{3} $$

となる。

解説

この問題の要点は，$f(x)=||x-3a|-a|$ をそのまま扱わず，まず $|x-3a|$ をひとまとまりに見ることである。すると $f$ も $g$ も $x=3a$ を軸とする対称なグラフであることがすぐ分かる。

（1） では $t=|x-3a|$ とおけば絶対値方程式 $|t-a|=a$ に直せるので，機械的に解ける。

（2） では交点を求めたあと，面積を直接細かく積分してもよいが，$f$ のグラフが折れ線であり，その下の面積が三角形 4 個の和になると見ると計算がかなり簡潔になる。対称性を見抜けるかどうかが重要である。

答え

**(1)**

方程式 $f(x)=a$ の解は

$$ x=a,\ 3a,\ 5a $$

である。

**(2)**

囲まれた部分の面積は

$$ S=\frac{2a^2(16a+3)}{3} $$

である。