解説

方針・初手

対称移動でできる曲線 $C_2$ は

$$ y=f(2t-x)=(2t-x)^3-(2t-x) $$

である。

$C_1$ と $C_2$ の交点は

$$ f(x)=f(2t-x) $$

を解けばよい。ここで、対称軸が $x=t$ であることを生かして $x=t+u$ とおくと、式が大きく簡単になる。

解法1

$C_1,\ C_2$ はそれぞれ

$$ C_1:\ y=f(x)=x^3-x, \qquad C_2:\ y=f(2t-x)=(2t-x)^3-(2t-x) $$

である。

（1） $C_1$ と $C_2$ が $3$ 点で交わるときの $t$ の範囲

交点の $x$ 座標は

$$ f(x)=f(2t-x) $$

を満たす。

ここで

$$ x=t+u $$

とおくと、$2t-x=t-u$ だから

$$ f(t+u)=f(t-u) $$

となる。差をとると

$$ \begin{aligned} f(t+u)-f(t-u) &={(t+u)^3-(t+u)}-{(t-u)^3-(t-u)} \\ &=6t^2u+2u^3-2u \\ &=2u(u^2+3t^2-1). \end{aligned} $$

よって交点条件は

$$ 2u(u^2+3t^2-1)=0 $$

すなわち

$$ u=0 \quad \text{または} \quad u^2=1-3t^2 $$

である。

$3$ 点で交わるためには、$u=0$ に加えて $u=\pm\sqrt{1-3t^2}$ の $2$ つの異なる実数解が必要であるから、

$$ 1-3t^2>0 $$

でなければならない。したがって

$$ -\frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。

（2） 面積 $S$ の最大値

（1） の範囲で

$$ a=\sqrt{1-3t^2} $$

とおくと、交点の $x$ 座標は

$$ x=t-a,\ t,\ t+a $$

である。

再び $x=t+u$ とおくと、

$$ \begin{aligned} f(x)-f(2t-x) &=f(t+u)-f(t-u) \\ &=2u(u^2+3t^2-1) \\ &=2u(u^2-a^2). \end{aligned} $$

したがって $0<u<a$ では

$$ f(x)-f(2t-x)<0 $$

であり、右側の囲まれた部分では $C_2$ が上、$C_1$ が下にある。また、図形は直線 $x=t$ に関して対称であるから、全体の面積 $S$ は右半分の面積の $2$ 倍である。

よって

$$ \begin{aligned} S &=2\int_t^{t+a}{f(2t-x)-f(x)},dx \\ &=2\int_0^a {-2u(u^2-a^2)},du \\ &=2\int_0^a 2u(a^2-u^2),du \\ &=4\left[\frac{a^2u^2}{2}-\frac{u^4}{4}\right]_0^a \\ &=4\left(\frac{a^4}{2}-\frac{a^4}{4}\right) \\ &=a^4. \end{aligned} $$

したがって

$$ S=(1-3t^2)^2 $$

である。

ここで （1） の範囲では $t^2\geqq 0$ より

$$ (1-3t^2)^2\leqq 1 $$

であり、等号は $t=0$ のときに成り立つ。よって最大値は

$$ 1 $$

である。

解説

この問題の要点は、対称軸が $x=t$ であることから $x=t+u$ とおくことである。これにより、交点条件が

$$ f(t+u)=f(t-u) $$

という左右対称な形になり、因数分解しやすくなる。

また、面積についても $x=t$ に関する対称性を使えば、片側だけ積分して $2$ 倍すればよい。交点の位置を $t\pm a,\ t$ とおくと、差 $f(x)-f(2t-x)$ が $u$ の簡単な式になり、そのまま積分できる。

答え

$$ \text{（1）}\quad -\frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{1}{\sqrt{3}} $$

$$ \text{（2）}\quad S=(1-3t^2)^2 \ \text{より、最大値は}\ 1 $$

（このとき $t=0$）