解説

方針・初手

$C_1$ の接線 $l$ は，まず $y=x^2$ を微分すればただちに求まる。

そのうえで，$l$ が $C_2$ にも接する条件は，「共有点が重解をもつ」または「接点で傾きが一致する」として処理できる。最後は $a=3$ を代入して $C_1,\ C_2,\ l$ の位置関係を整理し，囲まれる部分を積分で求めればよい。

解法1

**(1)**

$l$ を表す方程式を求める。

$C_1$ は

$$ y=x^2 $$

であるから，その導関数は

$$ y'=2x $$

である。

接線 $l$ の傾きが $2$ なので，

$$ 2x=2 $$

より，接点の $x$ 座標は

$$ x=1 $$

である。このとき

$$ y=1^2=1 $$

より，接点は $(1,1)$ である。

したがって，点 $(1,1)$ を通り傾きが $2$ の直線 $l$ は

$$ y-1=2(x-1) $$

すなわち

$$ y=2x-1 $$

である。

**(2)**

$l$ が $C_2$ に接しているとき，$b$ を $a$ の式で表す。

$C_2$ は

$$ y=b(x-a)^2+3a $$

であるから，その導関数は

$$ y'=2b(x-a) $$

である。

$l$ の傾きは $2$ なので，$C_2$ との接点の $x$ 座標を $x=t$ とすると，

$$ 2b(t-a)=2 $$

より

$$ b(t-a)=1 $$

となる。したがって

$$ t-a=\frac{1}{b}, \qquad t=a+\frac{1}{b} $$

である。

この点は直線 $l:y=2x-1$ 上にもあるから，

$$ b(t-a)^2+3a=2t-1 $$

が成り立つ。ここで $t-a=\dfrac{1}{b}$ を用いると，

$$ b\left(\frac{1}{b}\right)^2+3a=2\left(a+\frac{1}{b}\right)-1 $$

すなわち

$$ \frac{1}{b}+3a=2a+\frac{2}{b}-1 $$

である。整理して

$$ a+1=\frac{1}{b} $$

よって

$$ b=\frac{1}{a+1} $$

を得る。

**(3)**

$l$ が $C_2$ に接し，$a=3$ のとき，$b,\ C_1,\ C_2$ の概形と囲まれる図形の面積を求める。

**まず $b$ を求める。**

（2） の結果より

$$ b=\frac{1}{a+1} $$

であるから，$a=3$ のとき

$$ b=\frac{1}{4} $$

である。

したがって

$$ C_2:\ y=\frac14(x-3)^2+9 $$

となる。

**各曲線・直線の位置関係を調べる。**

$C_1$ と $C_2$ の交点は

$$ x^2=\frac14(x-3)^2+9 $$

を解けばよい。両辺を $4$ 倍して

$$ 4x^2=(x-3)^2+36 $$

$$ 4x^2=x^2-6x+9+36 $$

$$ 3x^2+6x-45=0 $$

$$ x^2+2x-15=0 $$

$$ (x+5)(x-3)=0 $$

より

$$ x=-5,\ 3 $$

である。したがって交点は

$$ (-5,25),\ (3,9) $$

である。

また，$l$ は $C_1$ に $(1,1)$ で接する。さらに $C_2$ の接点は，$a=3,\ b=\dfrac14$ より

$$ 2b(x-a)=2 $$

$$ 2\cdot \frac14 (x-3)=2 $$

$$ x-3=4 $$

$$ x=7 $$

したがって接点は

$$ (7,13) $$

である。

以上より，概形は次のようになる。

• $C_1:\ y=x^2$ は頂点 $(0,0)$ をもつ上に開く放物線
• $C_2:\ y=\dfrac14(x-3)^2+9$ は頂点 $(3,9)$ をもつ上に開く放物線
• $l:\ y=2x-1$ は $C_1$ に $(1,1)$ で，$C_2$ に $(7,13)$ で接する
• $C_1$ と $C_2$ は $(3,9)$ で交わる

したがって，$3$ 曲線で囲まれる図形は，

• $x=1$ から $x=3$ までは上側が $C_1$
• $x=3$ から $x=7$ までは上側が $C_2$
• 下側はいずれも直線 $l$

となる部分である。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_1^3 \bigl(x^2-(2x-1)\bigr)\,dx+\int_3^7 \left\{\frac14(x-3)^2+9-(2x-1)\right\}\,dx $$

である。第1項は

$$ x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1)^2 $$

より

$$ \int_1^3 (x-1)^2,dx =\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_1^3 =\frac{8}{3} $$

である。

第2項は

$$ \frac14(x-3)^2+9-(2x-1) =\frac14(x^2-6x+9)-2x+10 =\frac14(x^2-14x+49) =\frac14(x-7)^2 $$

より

$$ \int_3^7 \frac14(x-7)^2,dx =\left[\frac{(x-7)^3}{12}\right]_3^7 =\frac{16}{3} $$

である。

したがって

$$ S=\frac{8}{3}+\frac{16}{3}=8 $$

となる。

解説

この問題の要点は，「接する」という条件を微分で扱うことである。

$C_1$ の接線を先に確定すると，$l$ は $y=2x-1$ と一意に決まる。そのあと $C_2$ に対しても，接点で傾きが一致し，しかもその点が直線上にあることを使えば $b$ が決まる。

（3） では，どの曲線が上側にくるかを確認せずに面積を積分すると誤りやすい。交点 $(3,9)$ を境に上側が $C_1$ から $C_2$ に切り替わるので，区間を分けて積分するのが本質である。

答え

**(1)**

$$ l:\ y=2x-1 $$

**(2)**

$$ b=\frac{1}{a+1} $$

**(3)**

$$ a=3 \text{ のとき } b=\frac14 $$

$$ C_2:\ y=\frac14(x-3)^2+9 $$

囲まれる図形の面積は

$$ 8 $$

である。