解説

方針・初手

まず放物線と直線の交点を求め，どの範囲で直線が放物線より上にあるかを調べる。

その結果，領域 $D$ は2曲線にはさまれた部分として表せるので，面積は「上の式 $-$ 下の式」を積分して求める。

また （3） では，$\triangle PQR$ の底辺を直線 $PQ$ とみると，高さは点 $R$ から直線 $PQ$ への距離になるので，三角形の面積を式で表しやすい。

解法1

まず，放物線と直線の交点を求める。

$$ x^2-4x+5=4x-2 $$

$$ x^2-8x+7=0 $$

$$ (x-1)(x-7)=0 $$

したがって，交点の $x$ 座標は $x=1,7$ である。

それぞれの $y$ 座標は直線 $y=4x-2$ に代入して

$$ x=1\ \Rightarrow\ y=2,\qquad x=7\ \Rightarrow\ y=26 $$

より，

$$ P(1,2),\quad Q(7,26) $$

である。

さらに，直線と放物線の差は

$$ (4x-2)-(x^2-4x+5)=-x^2+8x-7=-(x-1)(x-7)=(x-1)(7-x) $$

であるから，

$$ 1\leqq x\leqq 7 $$

のとき直線 $y=4x-2$ が放物線 $y=x^2-4x+5$ より上にある。

したがって，領域 $D$ は $x=1$ から $x=7$ までの間で，放物線の上側かつ直線の下側の部分である。

（1） 領域 $D$ は

$$ 1\leqq x\leqq 7,\qquad x^2-4x+5\leqq y\leqq 4x-2 $$

で表される部分である。

（2） 領域 $D$ の面積 $S$ は

$$ S=\int_1^7\left\{(4x-2)-(x^2-4x+5)\right\},dx $$

$$ =\int_1^7(-x^2+8x-7),dx $$

$$ =\left[-\frac{x^3}{3}+4x^2-7x\right]_1^7 $$

$$ =\left(-\frac{343}{3}+196-49\right)-\left(-\frac13+4-7\right) $$

$$ =\frac{98}{3}-\left(-\frac{10}{3}\right)=36 $$

よって，$D$ の面積は $36$ である。

（3） 点 $R$ の $x$ 座標を $t$ とすると，

$$ R(t,\ t^2-4t+5)\qquad (1\leqq t\leqq 7) $$

である。

直線 $PQ$ はもとの直線と同じく

$$ y=4x-2 $$

すなわち

$$ 4x-y-2=0 $$

である。

まず，底辺 $PQ$ の長さは

$$ |PQ|=\sqrt{(7-1)^2+(26-2)^2} =\sqrt{6^2+24^2} =\sqrt{612} =6\sqrt{17} $$

である。

次に，点 $R$ から直線 $4x-y-2=0$ までの距離 $d$ は

$$ d=\frac{|4t-(t^2-4t+5)-2|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}} =\frac{|-t^2+8t-7|}{\sqrt{17}} $$

である。

ここで $1\leqq t\leqq 7$ では $-t^2+8t-7\geqq 0$ なので，

$$ d=\frac{-t^2+8t-7}{\sqrt{17}} $$

となる。

したがって，三角形 $\triangle PQR$ の面積は

$$ \frac12\cdot |PQ|\cdot d =\frac12\cdot 6\sqrt{17}\cdot \frac{-t^2+8t-7}{\sqrt{17}} =3(-t^2+8t-7) $$

である。

これが $D$ の面積の半分，すなわち

$$ \frac{36}{2}=18 $$

に等しいから，

$$ 3(-t^2+8t-7)=18 $$

$$ -t^2+8t-7=6 $$

$$ t^2-8t+13=0 $$

$$ t=4\pm \sqrt{3} $$

よって，求める点 $R$ の $x$ 座標は

$$ 4-\sqrt{3},\quad 4+\sqrt{3} $$

である。

解説

この問題の要点は，2つのグラフの上下関係を「式の差」で判定することである。

$$ (4x-2)-(x^2-4x+5)=(x-1)(7-x) $$

と因数分解できるので，交点の $x=1,7$ の間だけ直線が上，放物線が下になることがすぐ分かる。したがって面積はそのまま定積分で求められる。

また （3） では，三角形の面積を直接座標で計算してもよいが，底辺を $PQ$ に固定し，高さを「点と直線の距離」で表すと整理しやすい。三角形の面積が同じになる点が2つ出るのは，放物線が対称であり，条件が左右対称になるためである。

答え

**(1)**

$$ D={(x,y)\mid 1\leqq x\leqq 7,\ x^2-4x+5\leqq y\leqq 4x-2} $$

**(2)**

$$ 36 $$

**(3)**

点 $R$ の $x$ 座標は

$$ 4-\sqrt{3},\quad 4+\sqrt{3} $$

である。