解説

方針・初手

放物線 $C:y=x^2+px+q$ が直線と接する条件は，連立して得られる2次方程式が重解をもつことである。したがって，それぞれの直線について判別式を $0$ とおけばよい。

また，$p,q$ が決まったあとは，放物線と直線の差が平方の形にまとまるので，接点や面積も容易に求められる。

解法1

まず，$C$ と直線 $l:y=x$ の共有点を求めると，

$$ x^2+px+q=x $$

より，

$$ x^2+(p-1)x+q=0 $$

となる。これが接するための条件は判別式が $0$ であることだから，

$$ (p-1)^2-4q=0 $$

すなわち，

$$ q=\frac{(p-1)^2}{4} $$

である。よって [①] は

$$ \frac{(p-1)^2}{4} $$

である。

次に，$C$ と直線 $m:y=-2x$ の共有点を求めると，

$$ x^2+px+q=-2x $$

より，

$$ x^2+(p+2)x+q=0 $$

となる。これが接するための条件は同様に，

$$ (p+2)^2-4q=0 $$

すなわち，

$$ q=\frac{(p+2)^2}{4} $$

である。よって [②] は

$$ \frac{(p+2)^2}{4} $$

である。

ここで，2つの式を等しいとして

$$ \frac{(p-1)^2}{4}=\frac{(p+2)^2}{4} $$

より，

$$ (p-1)^2=(p+2)^2 $$

$$ p^2-2p+1=p^2+4p+4 $$

$$ -6p=3 $$

$$ p=-\frac{1}{2} $$

したがって，

$$ q=\frac{(p-1)^2}{4} =\frac{\left(-\frac{1}{2}-1\right)^2}{4} =\frac{\left(-\frac{3}{2}\right)^2}{4} =\frac{9}{16} $$

となる。よって [③], [④] は

$$ p=-\frac{1}{2},\qquad q=\frac{9}{16} $$

である。

したがって放物線 $C$ は

$$ y=x^2-\frac{1}{2}x+\frac{9}{16} $$

である。

$C$ と $l$ の接点

$C$ と $l$ の交点は

$$ x^2-\frac{1}{2}x+\frac{9}{16}=x $$

すなわち

$$ x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=0 $$

であり，これは

$$ \left(x-\frac{3}{4}\right)^2=0 $$

だから，

$$ x=\frac{3}{4} $$

である。$l:y=x$ 上にあるので，

$$ y=\frac{3}{4} $$

となる。よって [⑤] は

$$ \left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right) $$

である。

$C$ と $m$ の接点

同様に，$C$ と $m$ の交点は

$$ x^2-\frac{1}{2}x+\frac{9}{16}=-2x $$

すなわち

$$ x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=0 $$

であり，これは

$$ \left(x+\frac{3}{4}\right)^2=0 $$

だから，

$$ x=-\frac{3}{4} $$

である。$m:y=-2x$ 上にあるので，

$$ y=-2\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{2} $$

となる。よって [⑥] は

$$ \left(-\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right) $$

である。

$C$ と $l$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積

放物線と直線の差は

$$ \left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{9}{16}\right)-x =x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} =\left(x-\frac{3}{4}\right)^2 $$

である。したがって，$0\leqq x\leqq \frac{3}{4}$ において，放物線が直線 $l$ の上にある。

よって求める面積は

$$ \int_0^{3/4}\left\{\left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{9}{16}\right)-x\right\}\,dx =\int_0^{3/4}\left(x-\frac{3}{4}\right)^2,dx $$

$$ =\left[\frac{1}{3}\left(x-\frac{3}{4}\right)^3\right]_0^{3/4} =0-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{4}\right)^3 =\frac{9}{64} $$

である。よって [⑦] は

$$ \frac{9}{64} $$

である。

$C$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積

同様に，放物線と直線 $m$ の差は

$$ \left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{9}{16}\right)-(-2x) =x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} =\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 $$

である。したがって，$-\frac{3}{4}\leqq x\leqq 0$ において，放物線が直線 $m$ の上にある。

よって求める面積は

$$ \int_{-3/4}^0\left\{\left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{9}{16}\right)-(-2x)\right\}\,dx =\int_{-3/4}^0\left(x+\frac{3}{4}\right)^2,dx $$

$$ =\left[\frac{1}{3}\left(x+\frac{3}{4}\right)^3\right]_{-3/4}^0 =\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4}\right)^3 =\frac{9}{64} $$

である。よって [⑧] は

$$ \frac{9}{64} $$

である。

解説

この問題の要点は，「接する」を「連立してできる2次方程式が重解をもつ」と言い換えることである。したがって，判別式を $0$ とおくのが最も標準的な処理である。

また，$p,q$ を決めた後に，放物線と各直線の差が

$$ \left(x-\frac{3}{4}\right)^2,\qquad \left(x+\frac{3}{4}\right)^2 $$

と平方の形になるため，どちらが上にあるか，接点がどこか，面積がいくらかが一気に整理できる。面積計算では，$y$ 軸が境界になるので積分区間をそれぞれ $[0,\frac{3}{4}]$，$[-\frac{3}{4},0]$ とすることが重要である。

答え

**(1)**

$$ [①]=\frac{(p-1)^2}{4} $$

**(2)**

$$ [②]=\frac{(p+2)^2}{4} $$

**(3)**

$$ [③]=-\frac{1}{2},\qquad [④]=\frac{9}{16} $$

$$ [⑤]=\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right),\qquad [⑥]=\left(-\frac{3}{4},\frac{3}{2}\right) $$

$$ [⑦]=\frac{9}{64},\qquad [⑧]=\frac{9}{64} $$