解説

方針・初手

接点を $Q(t_1,t_1^2),\ R(t_2,t_2^2)$ とおくと、放物線 $y=x^2$ の接線は接点の $x$ 座標で表しやすい。 まず、直線 $QR$ と放物線で囲まれる面積 $S$ を、交点の $x$ 座標の差で表す。

次に、点 $P=(p,q)$ から引いた 2 本の接線の接点を $Q,\ R$ とするとき、直線 $QR$ の式が $p,\ q$ で表せることを用いて、$P$ が円 $x^2+y^2=1$ 上にある条件を $a,\ b$ に移す。 そうすると、$S$ の最大化は 1 変数の最大化に帰着する。

解法1

**(1)**

直線 $QR$ の方程式を

$$ y=ax+b $$

とする。

この直線と放物線 $y=x^2$ の交点の $x$ 座標を $\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)$ とすると、

$$ x^2=ax+b $$

より、

$$ x^2-ax-b=0 $$

の 2 解が $\alpha,\beta$ である。したがって

$$ \beta-\alpha=\sqrt{a^2+4b} $$

である。

ここで、直線 $QR$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれる面積 $S$ は

$$ S=\int_{\alpha}^{\beta}(ax+b-x^2),dx $$

である。

$\alpha,\beta$ は $x^2-ax-b=0$ の解なので、

$$ x^2-ax-b=(x-\alpha)(x-\beta) $$

であり、

$$ ax+b-x^2=-(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)(\beta-x) $$

と書ける。よって

$$ S=\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x),dx $$

となる。

ここで $u=x-\alpha$ とおくと、$x=\beta$ のとき $u=\beta-\alpha$ であるから、

$$ S=\int_0^{\beta-\alpha}u\bigl((\beta-\alpha)-u\bigr),du $$

$$ =\int_0^{\beta-\alpha}\left((\beta-\alpha)u-u^2\right),du $$

$$ =\left[\frac{\beta-\alpha}{2}u^2-\frac{1}{3}u^3\right]_0^{\beta-\alpha} =\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 $$

したがって、

$$ S=\frac{1}{6}\left(\sqrt{a^2+4b}\right)^3 $$

が成り立つ。

**(2)**

点 $P=(p,q)$ とする。ただし $P$ は円

$$ p^2+q^2=1 $$

上にある。

放物線 $y=x^2$ の、接点の $x$ 座標が $t$ である接線は

$$ y=2tx-t^2 $$

である。これが $P=(p,q)$ を通るための条件は

$$ q=2pt-t^2 $$

すなわち

$$ t^2-2pt+q=0 $$

である。

この 2 解を $t_1,\ t_2$ とすると、接点は

$$ Q=(t_1,t_1^2),\quad R=(t_2,t_2^2) $$

である。

したがって直線 $QR$ の傾きは

$$ \frac{t_2^2-t_1^2}{t_2-t_1}=t_1+t_2 $$

であり、Vieta の公式から

$$ t_1+t_2=2p,\quad t_1t_2=q $$

なので、直線 $QR$ は

$$ y=(t_1+t_2)x-t_1t_2=2px-q $$

となる。

よって

$$ a=2p,\quad b=-q $$

である。

ここで （1） より

$$ S=\frac{1}{6}\left(\sqrt{a^2+4b}\right)^3 $$

だから、$S$ を最大にするには $a^2+4b$ を最大にすればよい。

$a=2p,\ b=-q$ を代入すると、

$$ a^2+4b=4p^2-4q $$

である。さらに $p^2+q^2=1$ より $p^2=1-q^2$ だから、

$$ a^2+4b=4(1-q^2)-4q =4-4q^2-4q $$

$$ =5-4\left(q+\frac{1}{2}\right)^2 $$

となる。したがって最大値は

$$ a^2+4b=5 $$

であり、そのとき

$$ q=-\frac{1}{2} $$

である。

よって

$$ S_{\max}=\frac{1}{6}\left(\sqrt{5}\right)^3=\frac{5\sqrt{5}}{6} $$

である。

また、このときの点 $P$ の $y$ 座標は

$$ -\frac{1}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は、接点を $t$ でおく接線

$$ y=2tx-t^2 $$

を用いることである。これにより、点 $P=(p,q)$ から引ける接線の接点のパラメータ $t_1,t_2$ が 2 次方程式

$$ t^2-2pt+q=0 $$

の解になる。

その結果、接点を結ぶ弦 $QR$ の方程式が

$$ y=2px-q $$

と直ちに求まる。あとは、円周上の条件 $p^2+q^2=1$ を使って、面積公式の中身 $a^2+4b$ を 1 変数で最大化すればよい。 面積を直接 $p,\ q$ で積分しようとすると重くなるので、（1） の一般公式を先に作るのが有効である。

答え

**(1)**

$$ S=\frac{1}{6}\left(\sqrt{a^2+4b}\right)^3 $$

**(2)**

$$ S_{\max}=\frac{5\sqrt{5}}{6} $$

そのときの点 $P$ の $y$ 座標は

$$ -\frac{1}{2} $$

である。