解説

方針・初手

接線の条件から、接点 $x=5$ において

$$ f(5)=6,\quad f'(5)=-4 $$

が分かる。さらに、放物線は $(6,0)$ を通るので

$$ f(6)=0 $$

でもある。これで $a,b,c$ に関する3本の式が立つ。

（2） では、まず放物線と直線の上下関係を調べ、さらに $y=0$ との関係を見て積分区間を分ければよい。

解法1

接線の方程式は $y=-4x+26$ であるから、$x=5$ のとき

$$ y=-4\cdot 5+26=6 $$

となる。したがって

$$ f(5)=6 $$

である。

また

$$ f(x)=ax^2+bx+c $$

より

$$ f'(x)=2ax+b $$

であるから、接線の傾きが $-4$ であることから

$$ f'(5)=10a+b=-4 $$

を得る。

さらに、放物線は点 $(6,0)$ を通るので

$$ f(6)=36a+6b+c=0 $$

である。

一方、$f(5)=6$ より

$$ 25a+5b+c=6 $$

である。よって $a,b,c$ は

$$ \begin{cases} 10a+b=-4 \\ 36a+6b+c=0 \\ 25a+5b+c=6 \end{cases} $$

を満たす。

下2式の差をとると

$$ 11a+b=-6 $$

となる。これと $10a+b=-4$ の差から

$$ a=-2 $$

を得る。これを $10a+b=-4$ に代入すると

$$ -20+b=-4 $$

より

$$ b=16 $$

である。さらに $25a+5b+c=6$ に代入すると

$$ 25(-2)+5\cdot 16+c=6 $$

すなわち

$$ -50+80+c=6 $$

より

$$ c=-24 $$

である。

したがって

$$ f(x)=-2x^2+16x-24=-2(x-2)(x-6) $$

となる。

次に （2） を考える。

直線と放物線の差は

$$ (-4x+26)-f(x) =-4x+26-(-2x^2+16x-24) =2x^2-20x+50 =2(x-5)^2 $$

である。

したがって、直線 $y=-4x+26$ は $x=5$ で放物線に接し、$x\ge 5$ では常に放物線の上側にある。

また

$$ f(x)=-2(x-2)(x-6) $$

より、$5\le x\le 6$ では $f(x)\ge 0$、$x\ge 6$ では $f(x)\le 0$ である。

さらに、直線 $y=-4x+26$ が $x$ 軸と交わるのは

$$ -4x+26=0 $$

より

$$ x=\frac{13}{2} $$

である。

よって求める領域は、（i） $5\le x\le 6$ では上が直線、下が放物線、（ii） $6\le x\le \dfrac{13}{2}$ では上が直線、下が $x$ 軸となる。

したがって面積 $S$ は

$$ S=\int_5^6{(-4x+26)-f(x)},dx+\int_6^{13/2}(-4x+26),dx $$

である。

第1項は

$$ \int_5^6 2(x-5)^2,dx =2\int_0^1 t^2,dt =\frac{2}{3} $$

である。

第2項は

$$ \int_6^{13/2}(-4x+26),dx $$

であり、これは底辺 $\dfrac{1}{2}$、高さ $2$ の三角形の面積に等しいから

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{2} $$

である。

よって

$$ S=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6} $$

となる。

解説

接線の方程式が与えられたときは、接点の座標と傾きの2つの情報が同時に使えるのが基本である。本問では $f(5)=6$ と $f'(5)=-4$ がすぐに得られ、さらに $(6,0)$ を通る条件を合わせることで係数が一意に定まる。

面積では、不等式をそのまま積分するのではなく、どの曲線が上側・下側になるかを先に確認することが重要である。ここでは

$$ (-4x+26)-f(x)=2(x-5)^2 $$

と因数分解できるため、直線が常に放物線の上側にあることが分かる。また、$y\ge 0$ の条件があるため、$x=6$ を境に下側の曲線が放物線から $x$ 軸に切り替わる点に注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ a=-2,\quad b=16,\quad c=-24 $$

**(2)**

面積は

$$ \frac{7}{6} $$