解説

方針・初手

絶対値をそのまま扱いにくいので、まず $|x^2-1|$ の部分を場合分けする。

さらに

$$ |x^2-1|+|y+2|\leqq 1 $$

より

$$ |y+2|\leqq 1-|x^2-1| $$

であるから、右辺が $0$ 以上でなければならない。したがって、まず $x$ の取りうる範囲を確定し、その後で各 $x$ に対する $y$ の範囲を求めればよい。

解法1

与えられた不等式は

$$ |x^2-1|+|y+2|\leqq 1 $$

である。

これより

$$ |y+2|\leqq 1-|x^2-1| $$

となるので、右辺が $0$ 以上である必要がある。よって

$$ |x^2-1|\leqq 1 $$

であり、

$$ -1\leqq x^2-1\leqq 1 $$

すなわち

$$ 0\leqq x^2\leqq 2 $$

となる。したがって

$$ -\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2} $$

である。

ここで $|x^2-1|$ を場合分けする。

**(i)**

$|x|\leqq 1$ のとき

このとき $x^2-1\leqq 0$ であるから

$$ |x^2-1|=1-x^2 $$

となる。したがって

$$ (1-x^2)+|y+2|\leqq 1 $$

より

$$ |y+2|\leqq x^2 $$

である。

ゆえに

$$ -x^2-2\leqq y\leqq x^2-2 $$

となる。

**(ii)**

$1\leqq |x|\leqq \sqrt{2}$ のとき

このとき $x^2-1\geqq 0$ であるから

$$ |x^2-1|=x^2-1 $$

となる。したがって

$$ (x^2-1)+|y+2|\leqq 1 $$

より

$$ |y+2|\leqq 2-x^2 $$

である。

ゆえに

$$ x^2-4\leqq y\leqq -x^2 $$

となる。

以上より、領域 $D$ は

• $|x|\leqq 1$ では、放物線 $y=x^2-2$ と $y=-x^2-2$ にはさまれた部分
• $1\leqq |x|\leqq \sqrt{2}$ では、放物線 $y=-x^2$ と $y=x^2-4$ にはさまれた部分

である。

境界上の主な点は

$$ (0,-2),\quad (\pm 1,-1),\quad (\pm 1,-3),\quad (\pm \sqrt{2},-2) $$

であり、$y$ 軸対称かつ直線 $y=-2$ に関して対称な図形になる。

次に面積を求める。

$y=-2$ に関して上下対称、さらに $y$ 軸に関して左右対称であるから、$x\geqq 0$ の部分を積分して $2$ 倍すればよい。

**(iii)**

$0\leqq x\leqq 1$ では、縦の長さは

$$ (x^2-2)-(-x^2-2)=2x^2 $$

である。

**(iv)**

$1\leqq x\leqq \sqrt{2}$ では、縦の長さは

$$ (-x^2)-(x^2-4)=4-2x^2 $$

である。

したがって面積 $S$ は

$$ S=2\left\{\int_0^1 2x^2,dx+\int_1^{\sqrt{2}}(4-2x^2),dx\right\} $$

となる。

まず

$$ \int_0^1 2x^2,dx=\left[\frac{2}{3}x^3\right]_0^1=\frac{2}{3} $$

である。

また

$$ \int_1^{\sqrt{2}}(4-2x^2),dx =\left[4x-\frac{2}{3}x^3\right]_1^{\sqrt{2}} =4\sqrt{2}-\frac{4}{3}\sqrt{2}-4+\frac{2}{3} =\frac{8}{3}\sqrt{2}-\frac{10}{3} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} S &=2\left(\frac{2}{3}+\frac{8}{3}\sqrt{2}-\frac{10}{3}\right) \\ &=2\cdot \frac{8\sqrt{2}-8}{3} \\ &=\frac{16(\sqrt{2}-1)}{3} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、絶対値を外す前に

$$ |y+2|\leqq 1-|x^2-1| $$

と見て、まず $|x^2-1|\leqq 1$ を導くことである。これにより $x$ の範囲が $-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$ と定まり、その後は $x^2-1$ の符号で場合分けするだけでよい。

また、図形は $y$ 軸対称かつ $y=-2$ に関して対称である。この対称性を使うと面積計算が整理しやすい。

答え

**(1)**

領域 $D$ は、次の 4 本の放物線で囲まれる部分である。

$$ y=x^2-2,\quad y=-x^2-2 \qquad (|x|\leqq 1) $$

$$ y=-x^2,\quad y=x^2-4 \qquad (1\leqq |x|\leqq \sqrt{2}) $$

すなわち、頂点・接続点は

$$ (0,-2),\ (\pm 1,-1),\ (\pm 1,-3),\ (\pm \sqrt{2},-2) $$

である。

**(2)**

領域 $D$ の面積は

$$ \frac{16(\sqrt{2}-1)}{3} $$

である。