解説

方針・初手

2つのグラフの差を

$$ h(x)=g(x)-f(x)=x^3-(ax^2+bx+c) $$

とおく。

点 $P$ では2つのグラフが接しているので、$P$ の $x$ 座標を $p$ とすると $h(p)=0,\ h'(p)=0$ が成り立つ。したがって $p$ は $h(x)$ の重解である。

もう一方の共通点 $Q$ の $x$ 座標を $q$ とすると、$h(x)$ は3次式であるから

$$ h(x)=(x-p)^2(x-q) $$

と表せる。これを用いて、接線条件と面積を $p,q$ で表し、最後に最小化する。

解法1

$h(x)=x^3-f(x)$ より

$$ f(x)=x^3-(x-p)^2(x-q) $$

である。右辺は3次の項が打ち消し合うので、確かに2次式になる。

接線条件を式にする

$g(x)=x^3$ だから

$$ g'(x)=3x^2 $$

である。

また

$$ h'(x)=g'(x)-f'(x) $$

であるから、$x=q$ において

$$ f'(q)=g'(q)-h'(q) $$

となる。

ここで

$$ h(x)=(x-p)^2(x-q) $$

より

$$ h'(q)=(q-p)^2 $$

であるから、

$$ f'(q)=3q^2-(q-p)^2 $$

を得る。

点 $Q$ で2つの接線が直交するので、傾きの積は $-1$ である。よって

$$ g'(q),f'(q)=-1 $$

すなわち

$$ 3q^2\bigl(3q^2-(q-p)^2\bigr)=-1 $$

である。整理すると

$$ (q-p)^2=3q^2+\frac{1}{3q^2} $$

を得る。ただし右辺に $q$ が分母で現れるので $q\neq 0$ である。

面積 $S$ を求める

2つのグラフの差は

$$ g(x)-f(x)=(x-p)^2(x-q) $$

である。

共通点は $x=p,\ q$ の2点であり、区間の長さだけが面積に効く。$d=|q-p|$ とおく。

このとき、囲まれた部分の面積は

$$ S=\int_{\min{p,q}}^{\max{p,q}} |(x-p)^2(x-q)|,dx $$

である。

例えば $p<q$ とすると

$$ S=\int_p^q (x-p)^2(q-x),dx $$

となる。ここで $t=x-p,\ q-p=d$ とおけば

$$ S=\int_0^d t^2(d-t),dt $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^d (dt^2-t^3),dt \\ &=d\cdot \frac{d^3}{3}-\frac{d^4}{4} \\ &=\frac{d^4}{12}. \end{aligned} $$

したがって一般に

$$ S=\frac{|q-p|^4}{12}=\frac{d^4}{12} $$

である。

最小化する

先ほど得た条件より

$$ d^2=(q-p)^2=3q^2+\frac{1}{3q^2}. $$

ここで $3q^2>0$ なので、相加相乗平均より

$$ 3q^2+\frac{1}{3q^2}\geqq 2 $$

であり、等号成立は

$$ 3q^2=\frac{1}{3q^2} $$

すなわち

$$ 3q^2=1 $$

のときである。

よって

$$ d^2\geqq 2 $$

だから

$$ S=\frac{d^4}{12}\geqq \frac{2^2}{12}=\frac13. $$

したがって最小値は

$$ \frac13 $$

である。

なお、$q=\pm \frac{1}{\sqrt3}$ とし、さらに $|q-p|=\sqrt2$ となるように $p$ を取れば等号が成立するので、この値は実際に達成される。

解説

この問題の本質は、2曲線の差

$$ h(x)=g(x)-f(x) $$

を見ることである。

点 $P$ で接線が一致するという条件は、単に共通点であるだけでなく、その点が重解になることを意味する。これにより差の3次式が

$$ (x-p)^2(x-q) $$

と因数分解でき、面積も接線条件も $p,q$ だけで扱えるようになる。

また、面積が最終的に $|q-p|^4/12$ となるため、問題は実質的に $|q-p|$ の最小化に帰着する。直交条件から出る

$$ (q-p)^2=3q^2+\frac{1}{3q^2} $$

に対して相加相乗平均を使うのが典型処理である。

答え

$$ S_{\min}=\frac13 $$