解説

方針・初手

放物線 $y=x^2+1$ の $x=a$ における接線は、微分係数 $2a$ を用いて

$$ y=2a(x-a)+a^2+1=2ax-a^2+1 $$

と書ける。

したがって、まず $a=t,\ t+1$ を代入して $l_1,\ l_2$ を求める。その後、交点 $P$ を連立で求める。

また、接線と放物線の差が

$$ (x^2+1)-(2ax-a^2+1)=(x-a)^2 $$

となることを使うと、面積計算が大きく簡単になる。

解法1

**(1)**

$l_1,\ l_2$ の方程式と $P$ の座標

点 $A(t,t^2+1)$ における接線 $l_1$ は

$$ y=2t(x-t)+t^2+1=2tx-t^2+1 $$

である。

同様に、点 $B(t+1,(t+1)^2+1)$ における接線 $l_2$ は

$$ y=2(t+1){x-(t+1)}+(t+1)^2+1 $$

より

$$ y=2(t+1)x-(t+1)^2+1=2(t+1)x-t^2-2t $$

である。

交点 $P$ は $l_1,\ l_2$ の連立方程式で求まる。すなわち

$$ 2tx-t^2+1=2(t+1)x-t^2-2t $$

より

$$ 1=2x-2t $$

となるから、

$$ x=t+\frac12 $$

である。

これを $l_1$ に代入すると

$$ y=2t\left(t+\frac12\right)-t^2+1=t^2+t+1 $$

よって

$$ P\left(t+\frac12,\ t^2+t+1\right) $$

である。

（2） 囲まれる部分の面積

まず、$x=a$ における接線を $y=2ax-a^2+1$ とすると、

$$ (x^2+1)-(2ax-a^2+1)=x^2-2ax+a^2=(x-a)^2 $$

であるから、接線は接点以外では常に放物線の下側にある。

また、（1） より $P$ の $x$ 座標は $t+\frac12$ であり、これは $t$ と $t+1$ の中点である。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_t^{t+\frac12}{(x^2+1)-l_1},dx+\int_{t+\frac12}^{t+1}{(x^2+1)-l_2},dx $$

と表せる。

ここで

$$ (x^2+1)-l_1=(x-t)^2,\qquad (x^2+1)-l_2=(x-(t+1))^2 $$

だから、

$$ S=\int_t^{t+\frac12}(x-t)^2,dx+\int_{t+\frac12}^{t+1}(x-(t+1))^2,dx $$

となる。

前半は $u=x-t$、後半は $v=x-(t+1)$ とおけば、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^{\frac12}u^2,du+\int_{-\frac12}^0v^2,dv \\ &=2\int_0^{\frac12}u^2,du \\ &=2\left[\frac{u^3}{3}\right]_0^{\frac12} =2\cdot\frac{1}{24} =\frac{1}{12} \end{aligned} $$

よって、囲まれる部分の面積は

$$ \frac{1}{12} $$

であり、$t$ によらない。

**(3)**

$AB^2+2PA^2+PB^2$ が最小となる $t$

各点の座標は

$$ A(t,t^2+1),\quad B(t+1,t^2+2t+2),\quad P\left(t+\frac12,t^2+t+1\right) $$

である。

まず、

$$ \overrightarrow{AB}=(1,\ 2t+1) $$

より

$$ AB^2=1+(2t+1)^2=4t^2+4t+2 $$

である。

次に、

$$ \overrightarrow{PA}=A-P=\left(-\frac12,\ -t\right) $$

より

$$ PA^2=\left(-\frac12\right)^2+(-t)^2=\frac14+t^2 $$

である。

また、

$$ \overrightarrow{PB}=B-P=\left(\frac12,\ t+1\right) $$

より

$$ PB^2=\left(\frac12\right)^2+(t+1)^2=\frac14+(t+1)^2 $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} AB^2+2PA^2+PB^2 &=(4t^2+4t+2)+2\left(t^2+\frac14\right)+\left((t+1)^2+\frac14\right)\\ &=7t^2+6t+\frac{15}{4} \end{aligned} $$

となる。

これを平方完成すると

$$ \begin{aligned} 7t^2+6t+\frac{15}{4} &=7\left(t^2+\frac{6}{7}t\right)+\frac{15}{4}\\ &=7\left(\left(t+\frac37\right)^2-\frac{9}{49}\right)+\frac{15}{4}\\ &=7\left(t+\frac37\right)^2+\frac{69}{28} \end{aligned} $$

であるから、最小となるのは

$$ t=-\frac37 $$

のときである。

解説

この問題の要点は、放物線 $y=x^2+1$ の接線が $y=2ax-a^2+1$ と一般形で書けることと、

$$ (x^2+1)-(2ax-a^2+1)=(x-a)^2 $$

という関係に気づくことである。

特に （2） では、この差が完全平方になるため、面積が左右対称な形に分かれ、$t$ が消える。ここが最も重要な着眼点である。

（3） は座標をそのまま用いて距離の二乗を計算すればよく、最後は二次式の最小値に帰着する。

答え

**(1)**

$$ l_1:\ y=2tx-t^2+1 $$

$$ l_2:\ y=2(t+1)x-t^2-2t $$

$$ P\left(t+\frac12,\ t^2+t+1\right) $$

**(2)**

囲まれる部分の面積は

$$ \frac{1}{12} $$

であり、$t$ によらない。

**(3)**

$$ AB^2+2PA^2+PB^2 $$

が最小となるのは

$$ t=-\frac37 $$

である。