解説

方針・初手

三角形の面積は，底辺を $AB$ とみて 「$AB$ の長さ」と「点 $C$ から直線 $AB$ への距離」 で求めるのが最も自然である。

点 $A,B$ はともに直線 $y=2x+t$ 上にあるので，まず放物線 $y=x^2$ との交点の $x$ 座標を求め，そこから $AB$ の長さを出す。次に，点 $C(0,1)$ から直線 $y=2x+t$ までの距離を求めれば，面積が出る。

解法1

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x+t$ の交点の $x$ 座標は

$$ x^2=2x+t $$

すなわち

$$ x^2-2x-t=0 $$

の解である。

これを解くと

$$ x=1\pm \sqrt{1+t} $$

となる。したがって，2つの交点の $x$ 座標の差は

$$ 2\sqrt{1+t} $$

である。

直線 $y=2x+t$ の傾きは $2$ であるから，$x$ 座標が $\Delta x$ だけ違う2点間の距離は

$$ \sqrt{1+2^2},\Delta x=\sqrt{5},\Delta x $$

である。よって

$$ AB=\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{1+t}=2\sqrt{5}\sqrt{1+t} $$

となる。

次に，点 $C(0,1)$ から直線 $y=2x+t$ までの距離を求める。直線を

$$ 2x-y+t=0 $$

とおくと，距離は

$$ \frac{|2\cdot 0-1+t|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\frac{|t-1|}{\sqrt{5}} $$

である。ここで $-1<t<1$ より $t-1<0$ であるから

$$ |t-1|=1-t $$

となり，距離は

$$ \frac{1-t}{\sqrt{5}} $$

である。

したがって，三角形 $ABC$ の面積を $T$ とすると

$$ T=\frac12 \cdot AB \cdot \frac{1-t}{\sqrt{5}} =\frac12 \cdot 2\sqrt{5}\sqrt{1+t}\cdot \frac{1-t}{\sqrt{5}} =(1-t)\sqrt{1+t} $$

である。

よって，その2乗 $S(t)$ は

$$ S(t)=\left((1-t)\sqrt{1+t}\right)^2=(1-t)^2(1+t) $$

となる。

次に，増減を調べるため微分する。

$$ S(t)=(1-t)^2(1+t) $$

より

$$ \begin{aligned} S'(t) &=2(1-t)(-1)(1+t)+(1-t)^2 \\ &=(1-t){-2(1+t)+(1-t)} \\ &=-(1-t)(1+3t) \end{aligned} $$

ここで $-1<t<1$ では常に $1-t>0$ である。したがって，$S'(t)$ の符号は $-(1+3t)$ の符号で決まる。

ゆえに，

**(i)**

$-1<t<-\dfrac13$ のとき $1+3t<0$ なので $S'(t)>0$

**(ii)**

$t=-\dfrac13$ のとき $S'(t)=0$

**(iii)**

$-\dfrac13<t<1$ のとき $1+3t>0$ なので $S'(t)<0$

以上より，$S(t)$ は

• $-1<t<-\dfrac13$ で増加
• $-\dfrac13<t<1$ で減少

する。

したがって最大値は $t=-\dfrac13$ のときにとり，

$$ S\left(-\frac13\right) =\left(1+\frac13\right)^2\left(1-\frac13\right) =\left(\frac43\right)^2\cdot \frac23 =\frac{32}{27} $$

である。

解説

この問題では，交点の座標をすべて具体的に書き下して面積公式に入れるよりも，底辺 $AB$ と高さに分けて考える方が簡潔である。

特に，$A,B$ が同一直線 $y=2x+t$ 上にあるので，高さは点 $C$ からその直線までの距離になる。さらに，$AB$ の長さは交点の $x$ 座標の差からすぐに求められる。この見方ができると計算がかなり整理される。

また，面積そのものではなく面積の2乗 $S(t)$ を扱っているので，根号が消えて微分しやすい形になる点も重要である。

答え

**(1)**

$$ S(t)=(1-t)^2(1+t) $$

**(2)**

$S(t)$ は

$-1<t<-\dfrac13$ で増加

$-\dfrac13<t<1$ で減少

する。

したがって，

$$ \text{最大値}=\frac{32}{27} $$

であり，そのとき

$$ t=-\frac13 $$

である。