解説

方針・初手

まず $f(x)$ を展開して導関数を求める。極値をとる $x$ 座標 $\alpha,\beta$ は $f'(x)=0$ の2解であるから、$\alpha+\beta,\alpha\beta$ を $a$ で表せる。

（1） では、2点 $(\alpha,f(\alpha)),(\beta,f(\beta))$ を結ぶ直線の傾きを、$\alpha+\beta,\alpha\beta$ を用いて表し、これを $x=-1$ における接線の傾き $f'(-1)$ と等置する。

（2） では、（1） で求めた $a$ を $f'(x)$ に代入し、放物線 $y=f'(x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を定積分で求める。

解法1

$f(x)$ を展開すると

$$ f(x)=(x+a)(x+1)(x-a)=(x+1)(x^2-a^2)=x^3+x^2-a^2x-a^2 $$

である。したがって

$$ f'(x)=3x^2+2x-a^2 $$

となる。

$x=\alpha,\beta$ で極値をとるので、$\alpha,\beta$ は方程式 $f'(x)=0$ の2解である。よって

$$ 3x^2+2x-a^2=0 $$

の解とみなせるから、解と係数の関係より

$$ \alpha+\beta=-\frac{2}{3},\qquad \alpha\beta=-\frac{a^2}{3} $$

を得る。

次に、2点 $(\alpha,f(\alpha)),(\beta,f(\beta))$ を結ぶ直線の傾き $m$ は

$$ m=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} $$

である。ここで

$$ f(x)=x^3+x^2-a^2x-a^2 $$

より

$$ \begin{aligned} f(\beta)-f(\alpha) &=(\beta^3-\alpha^3)+(\beta^2-\alpha^2)-a^2(\beta-\alpha) \\ &=(\beta-\alpha)\left(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2+\alpha+\beta-a^2\right) \end{aligned} $$

となるから、

$$ m=\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2+\alpha+\beta-a^2 $$

である。

ここで

$$ \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-\alpha\beta $$

であるから、

$$ \begin{aligned} m &=(\alpha+\beta)^2-\alpha\beta+(\alpha+\beta)-a^2 \\ &=\left(-\frac{2}{3}\right)^2-\left(-\frac{a^2}{3}\right)-\frac{2}{3}-a^2 \\ &=\frac{4}{9}+\frac{a^2}{3}-\frac{2}{3}-a^2 \\ &=-\frac{2}{9}-\frac{2a^2}{3} =-\frac{6a^2+2}{9} \end{aligned} $$

を得る。

一方、点 $(-1,0)$ における接線の傾きは

$$ f'(-1)=3(-1)^2+2(-1)-a^2=1-a^2 $$

である。

条件よりこれらは等しいので、

$$ -\frac{6a^2+2}{9}=1-a^2 $$

となる。これを解くと

$$ -6a^2-2=9-9a^2 $$

$$ 3a^2=11 $$

したがって

$$ a^2=\frac{11}{3} $$

であり、$a>1$ より

$$ a=\sqrt{\frac{11}{3}} $$

である。

次に （2） を考える。$a=\sqrt{\frac{11}{3}}$ を代入すると

$$ f'(x)=3x^2+2x-\frac{11}{3} $$

である。これを平方完成すると

$$ f'(x)=3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2-4 $$

となる。

$x$ 軸との交点は

$$ 3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2-4=0 $$

より

$$ \left(x+\frac{1}{3}\right)^2=\frac{4}{3} $$

$$ x+\frac{1}{3}=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

したがって

$$ x=\frac{-1\pm 2\sqrt{3}}{3} $$

である。

上に開く放物線なので、この2点の間では $f'(x)\leqq 0$ である。よって、求める面積 $S$ は

$$ S=-\int_{\frac{-1-2\sqrt{3}}{3}}^{\frac{-1+2\sqrt{3}}{3}} f'(x),dx $$

である。

ここで

$$ u=x+\frac{1}{3} $$

とおくと、積分区間は

$$ u=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \text{から}\ \frac{2\sqrt{3}}{3} $$

となり、

$$ S=\int_{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\frac{2\sqrt{3}}{3}} (4-3u^2),du $$

である。偶関数であることを用いると

$$ S=2\int_0^{\frac{2\sqrt{3}}{3}} (4-3u^2),du $$

$$ =2\left[4u-u^3\right]_0^{\frac{2\sqrt{3}}{3}} $$

$$ =2\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}-\frac{8\sqrt{3}}{9}\right) =2\cdot \frac{16\sqrt{3}}{9} =\frac{32\sqrt{3}}{9} $$

となる。

解説

（1） の要点は、極値をとる点の座標 $\alpha,\beta$ を直接求めることではなく、$\alpha,\beta$ が $f'(x)=0$ の解であることから $\alpha+\beta,\alpha\beta$ を使うことである。3次関数に対して、極値をとる2点を結ぶ直線の傾きは $f(\beta)-f(\alpha)$ を因数分解すると処理しやすい。

（2） は $f'(x)$ が2次関数になるので、まず平方完成して放物線の形を明確にするとよい。囲まれた部分は $x$ 軸より下側にあるので、面積は $-f'(x)$ を積分して求める。

答え

**(1)**

$$ a=\sqrt{\frac{11}{3}} $$

**(2)**

$$ S=\frac{32\sqrt{3}}{9} $$