解説

方針・初手

$x,\ y$ の式をそのまま眺めるより、$4x+3y$ と $-3x+4y$ を作ると $t,\ t^2$ が直接取り出せる。

また、（2） では点 $P,\ Q$ の中点と直線 $PQ$ の傾きを調べると、曲線 $C$ が放物線 $y=x^2$ を直線 $y=-3x$ に関して対称移動した曲線であることが分かる。これを使うと （3） の面積は簡潔に求まる。

解法1

**(1)**

与えられた媒介変数表示 $x=\dfrac{1}{5}(4t-3t^2)$、$y=\dfrac{1}{5}(3t+4t^2)$ に対し、$4x+3y,\ -3x+4y$ を計算すると

$$ 4x+3y =\frac{1}{5}(16t-12t^2+9t+12t^2) =\frac{25t}{5} =5t $$

$$ -3x+4y =\frac{1}{5}(-12t+9t^2+12t+16t^2) =\frac{25t^2}{5} =5t^2 $$

したがって

$$ t=\frac{4x+3y}{5},\qquad t^2=\frac{-3x+4y}{5} $$

である。ここで $t^2=\left(\dfrac{4x+3y}{5}\right)^2$ でもあるから、

$$ \frac{-3x+4y}{5}=\left(\frac{4x+3y}{5}\right)^2 $$

両辺に $25$ をかけて整理すると

$$ 5(-3x+4y)=(4x+3y)^2 $$

$$ 16x^2+24xy+9y^2+15x-20y=0 $$

よって

$$ [ア]=24,\qquad [イ]=9,\qquad [ウ]=15,\qquad [エ]=-20 $$

である。

**(2)**

点 $P\left(\dfrac{1}{5}(4t-3t^2),\dfrac{1}{5}(3t+4t^2)\right)$、 $Q(-t,t^2)$ の中点を $M$ とすると、

$$ M_x=\frac{1}{2}\left(\frac{4t-3t^2}{5}-t\right) =\frac{-t-3t^2}{10} $$

$$ M_y=\frac{1}{2}\left(\frac{3t+4t^2}{5}+t^2\right) =\frac{3t+9t^2}{10} $$

したがって

$$ M\left(-\frac{t+3t^2}{10},\ \frac{3t+9t^2}{10}\right) $$

であり、

$$ M_y=-3M_x $$

が成り立つ。よって $M$ は $t$ に関係なく定直線

$$ y=-3x $$

上にある。したがって

$$ [オ]=\left(-\frac{t+3t^2}{10},\ \frac{3t+9t^2}{10}\right),\qquad [カ]=-3 $$

である。

次に、$P\neq Q$ のとき直線 $PQ$ の傾きを求める。

$$ x_Q-x_P =-t-\frac{4t-3t^2}{5} =\frac{3t^2-9t}{5} =\frac{3t(t-3)}{5} $$

$$ y_Q-y_P =t^2-\frac{3t+4t^2}{5} =\frac{t^2-3t}{5} =\frac{t(t-3)}{5} $$

よって $t\neq 0,\ 3$ のとき

$$ \text{傾き }=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P} =\frac{1}{3} $$

一方、直線 $y=-3x$ の傾きは $-3$ であるから、両者の傾きの積は $-1$ である。したがって、$P\neq Q$ のとき直線 $PQ$ は $y=-3x$ に垂直である。

つまり、点 $P,\ Q$ は直線 $y=-3x$ に関して対称である。したがって、曲線 $C$ は放物線 $y=x^2$ を直線 $y=-3x$ に関して対称移動した曲線である。

**(3)**

曲線 $C$ と放物線 $y=x^2$ の共有点は、（2） より $P=Q$ となるときに対応する。したがって

$$ \frac{3t(t-3)}{5}=0,\qquad \frac{t(t-3)}{5}=0 $$

より

$$ t=0,\ 3 $$

である。

$t=0$ のとき共有点は $(0,0)$、$t=3$ のとき

$$ P\left(\frac{12-27}{5},\frac{9+36}{5}\right)=(-3,9) $$

となるから、原点以外の共有点は

$$ (-3,9) $$

である。よって

$$ [キ]=(-3,9) $$

となる。

さらに、曲線 $C$ は放物線 $y=x^2$ の直線 $y=-3x$ に関する対称移動であり、共有点 $(0,0),\ (-3,9)$ はともに直線 $y=-3x$ 上にある。したがって、求める面積は、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=-3x$ で囲まれる部分の面積の $2$ 倍である。

$x=-3$ から $x=0$ では直線 $y=-3x$ が放物線 $y=x^2$ の上にあるから、

$$ S=2\int_{-3}^{0}{(-3x)-x^2},dx $$

$$ =2\left[-\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_{-3}^{0} $$

$$ =2\left(0-\left(-\frac{27}{2}+9\right)\right) =2\cdot \frac{9}{2} =9 $$

よって

$$ [ク]=9 $$

である。

解説

この問題の核心は、媒介変数表示から $t,\ t^2$ をうまく取り出すことである。ここでは $4x+3y$ と $-3x+4y$ がちょうど $5t,\ 5t^2$ になるので、消去が一気に進む。

また （2） は単なる計算問題ではなく、曲線 $C$ が放物線 $y=x^2$ を直線 $y=-3x$ に関して対称移動したものだと見抜く部分が重要である。この対称性を使えば、（3） の共有点や面積は重い計算をせずに処理できる。

答え

**(1)**

$$ [ア]=24,\qquad [イ]=9,\qquad [ウ]=15,\qquad [エ]=-20 $$

したがって

$$ 16x^2+24xy+9y^2+15x-20y=0 $$

**(2)**

$$ [オ]=\left(-\frac{t+3t^2}{10},\ \frac{3t+9t^2}{10}\right),\qquad [カ]=-3 $$

**(3)**

$$ [キ]=(-3,9),\qquad [ク]=9 $$