解説

方針・初手

共通接線を求めるには、それぞれの放物線上の接点の $x$ 座標を文字で置き、接線の式を作って一致条件を立てればよい。

$C_1:y=x^2$ の接点の $x$ 座標を $a$、$C_2:y=x^2-4x+8$ の接点の $x$ 座標を $b$ とする。

解法1

$C_1:y=x^2$ において、$x=a$ における接線の傾きは $2a$ であるから、接線の式は

$$ y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2 $$

である。

同様に、$C_2:y=x^2-4x+8$ において、$x=b$ における接線の傾きは

$$ 2b-4 $$

であり、接線の式は

$$ \begin{aligned} y&=(2b-4)(x-b)+(b^2-4b+8) \\ &=(2b-4)x-b^2+8 \end{aligned} $$

である。

これらが同じ直線であるためには、傾きと切片がそれぞれ一致する必要がある。したがって

$$ 2a=2b-4 $$

$$ -a^2=-b^2+8 $$

を満たす。

前式より

$$ a=b-2 $$

である。これを後式に代入すると

$$ \begin{aligned} a^2&=b^2-8 \\ a^2&=(a+2)^2-8 \\ a^2&=a^2+4a-4 \end{aligned} $$

となるから

$$ 4a=4 $$

より

$$ a=1 $$

したがって

$$ b=3 $$

である。

よって、$P_1,P_2$ の $x$ 座標はそれぞれ $1,3$ である。

次に、共通接線 $l$ の式を求める。$a=1$ を $C_1$ の接線の式に代入すると

$$ l:\ y=2x-1 $$

となる。

面積を求めるために、$C_1$ と $C_2$ の交点を調べる。

$$ x^2=x^2-4x+8 $$

より

$$ 4x=8 $$

したがって

$$ x=2,\quad y=4 $$

である。したがって、囲まれた図形では、$x=1$ から $x=2$ までは上側が $C_1$、$x=2$ から $x=3$ までは上側が $C_2$ になる。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_1^2 {x^2-(2x-1)},dx+\int_2^3 {(x^2-4x+8)-(2x-1)},dx $$

である。

それぞれ整理すると

$$ x^2-(2x-1)=(x-1)^2 $$

$$ (x^2-4x+8)-(2x-1)=x^2-6x+9=(x-3)^2 $$

であるから

$$ S=\int_1^2 (x-1)^2,dx+\int_2^3 (x-3)^2,dx $$

$$ \begin{aligned} S&=\left[\frac{(x-1)^3}{3}\right]_1^2+\left[\frac{(x-3)^3}{3}\right]_2^3 \\ &=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \\ &=\frac{2}{3} \end{aligned} $$

したがって、求める面積は $\dfrac{2}{3}$ である。

解説

この問題の要点は、共通接線を「2つの接線の式が一致する」という条件に落とすことである。接点の $x$ 座標を直接文字で置けば、傾きと切片の一致から連立方程式が立ち、機械的に処理できる。

また、面積では上側の曲線が途中で入れ替わる。$C_1$ と $C_2$ の交点が $x=2$ であることを確認して、積分区間を分けることが重要である。

答え

**(1)**

$P_1$ の $x$ 座標は $1$、$P_2$ の $x$ 座標は $3$ である。

**(2)**

2つの放物線 $C_1,C_2$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積は

$$ \frac{2}{3} $$

である。