解説

方針・初手

直線の式をまず求め、放物線 $y=x^2$ との差を積分して面積 $S(a)$ を表す。

ただし、この差は2交点を根にもつ2次式になるので、交点間の距離に着目すると計算が大きく簡単になる。

解法1

点 $(1,2)$ を通り、傾きが $a$ の直線は

$$ y-2=a(x-1) $$

すなわち

$$ y=ax-a+2 $$

である。

これと放物線 $y=x^2$ との交点の $x$ 座標を $x_1,\ x_2\ (x_1<x_2)$ とすると、

$$ x^2=ax-a+2 $$

より

$$ x^2-ax+a-2=0 $$

を満たす。

この判別式は

$$ \Delta=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4 $$

であるから、常に正であり、2交点をもつ。

また、交点間では直線が放物線より上にあるので、求める面積は

$$ S(a)=\int_{x_1}^{x_2}{(ax-a+2)-x^2},dx $$

である。

ここで

$$ x^2-ax+a-2=(x-x_1)(x-x_2) $$

であるから、

$$ (ax-a+2)-x^2=-(x-x_1)(x-x_2)=(x-x_1)(x_2-x) $$

となる。

したがって

$$ S(a)=\int_{x_1}^{x_2}(x-x_1)(x_2-x),dx $$

となる。

ここで $x_2-x_1=d$ とおき、$x=x_1+t$ と変数変換すると、$0\le t\le d$ で

$$ S(a)=\int_0^d t(d-t),dt $$

となるので、

$$ S(a)=\int_0^d (dt-t^2),dt =\left[\frac{d}{2}t^2-\frac{1}{3}t^3\right]_0^d =\frac{d^3}{6} $$

を得る。

一方、2次方程式の2解の差は

$$ x_2-x_1=\sqrt{\Delta} $$

であるから、

$$ d=\sqrt{(a-2)^2+4} $$

である。

よって

$$ S(a)=\frac{1}{6}\left((a-2)^2+4\right)^{3/2} $$

となる。

したがって、$0\le a\le 6$ において $S(a)$ を最小にするには

$$ (a-2)^2+4 $$

を最小にすればよい。これは

$$ a=2 $$

のとき最小である。

解説

面積をそのまま積分してもよいが、交点を根にもつ2次式として見るのが本問の要点である。

実際、直線と放物線の差は $(x-x_1)(x_2-x)$ の形になり、面積は交点間の距離 $x_2-x_1$ だけで決まる。したがって、面積最小化は交点間距離の最小化に帰着される。

答え

$$ a=2 $$