解説

方針・初手

円 $C_2:x^2+y^2=k$ 上では $k=x^2+y^2$ が成り立つので、これを $C_1:y=-x^3+kx$ に代入して交点条件を簡単にする。

すると

$$ y=-x^3+kx=-x^3+x(x^2+y^2)=xy^2 $$

となるから、交点は

$$ y=xy^2 $$

すなわち $y=0$ または $xy=1$ を満たす点に限られる。これで共有点の個数が整理できる。

解法1

（1） 共有点の個数

交点では

$$ y(1-xy)=0 $$

が成り立つ。

（i） $y=0$ の場合

このとき $C_2$ より

$$ x^2=k $$

であるから、

$$ (x,y)=(\sqrt{k},0),\ (-\sqrt{k},0) $$

の $2$ 点を得る。

（ii） $xy=1$ の場合

このとき $C_2$ より

$$ x^2+y^2=k,\quad xy=1 $$

である。したがって

$$ (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=k-2 $$

となる。

よって、

• $0<k<2$ のとき $(x-y)^2<0$ となり不可能
• $k=2$ のとき $x-y=0$ なので $x=y$。さらに $xy=1$ より

$$ x=y=1 \quad \text{または} \quad x=y=-1 $$

であり、$2$ 点

• $k>2$ のとき $(x-y)^2=k-2>0$ であるから $x\ne y$。また

$$ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=k+2>0 $$

でもあるので、

$$ x+y=\pm\sqrt{k+2},\quad x-y=\pm\sqrt{k-2} $$

から $4$ 点存在する

以上より、共有点の個数は

$$ \begin{cases} 2 & (0<k<2),\\ 4 & (k=2),\\ 6 & (k>2) \end{cases} $$

である。

（2） 第1象限で囲まれる 2 つの部分の面積

共有点が $4$ 個であるから、（1） より

$$ k=2 $$

である。

したがって

$$ C_1:\ y=2x-x^3,\qquad C_2:\ x^2+y^2=2 $$

であり、第1象限では

$$ C_2:\ y=\sqrt{2-x^2}\qquad (0\le x\le \sqrt{2}) $$

と表せる。

まず第1象限で上下関係を確認する。

$$ \begin{aligned} \left(\sqrt{2-x^2}\right)^2-(2x-x^3)^2 &=2-x^2-x^2(2-x^2)^2\\ &=(2-x^2)(x^2-1)^2\ge 0 \end{aligned} $$

であり、両者とも第1象限では非負だから、

$$ \sqrt{2-x^2}\ge 2x-x^3 $$

が成り立つ。よって第1象限では常に $C_2$ が上、$C_1$ が下にある。

また交点は、$y=0$ から $(\sqrt{2},0)$、$xy=1$ かつ $x^2+y^2=2$ から $(1,1)$ である。したがって第1象限では、この交点 $(1,1)$ により面積が 2 つに分かれる。

（i） $0\le x\le 1$ に対応する部分

面積を $S_1$ とすると、

$$ S_1=\int_0^1\left(\sqrt{2-x^2}-(2x-x^3)\right),dx $$

である。

ここで

$$ \int \sqrt{2-x^2},dx=\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2}+\arcsin\frac{x}{\sqrt{2}} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_1 &=\left[\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2}+\arcsin\frac{x}{\sqrt{2}}-x^2+\frac{x^4}{4}\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}-1+\frac{1}{4}\\ &=\frac{\pi-1}{4} \end{aligned} $$

（ii） $1\le x\le \sqrt{2}$ に対応する部分

面積を $S_2$ とすると、

$$ S_2=\int_1^{\sqrt{2}}\left(\sqrt{2-x^2}-(2x-x^3)\right),dx $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} S_2 &=\left[\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2}+\arcsin\frac{x}{\sqrt{2}}-x^2+\frac{x^4}{4}\right]_1^{\sqrt{2}}\\ &=\left(\frac{\pi}{2}-1\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}-1+\frac{1}{4}\right)\\ &=\frac{\pi-3}{4} \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は、円の式 $x^2+y^2=k$ を三次曲線に代入して

$$ y=xy^2 $$

まで落とすことである。これにより交点条件が $y=0$ または $xy=1$ という単純な形になる。

また （2） では、共有点が $4$ 個という条件からまず $k=2$ を確定させることが先決である。そのあと第1象限での上下関係を確認すれば、面積は素直に定積分で求められる。

答え

**(1)**

共有点の個数は

$$ \begin{cases} 2 & (0<k<2),\\ 4 & (k=2),\\ 6 & (k>2) \end{cases} $$

である。

**(2)**

$k=2$ であり、第1象限で分かれる 2 つの部分の面積は

$$ \frac{\pi-1}{4},\qquad \frac{\pi-3}{4} $$

である。