解説

方針・初手

点 $P$ は線分 $AQ$ の中点であるから、まず中点の公式を使って $Q$ を $P$ で表すのが最も自然である。

この関係を使えば、（1） は直ちに処理でき、（2） は「放物線 $y=x^2$ の $x=t$ における接線」を用いて接線条件を立てればよい。（3） は $Q$ の座標を媒介変数 $t$ で表してから $t$ を消去し、最後に2曲線の差を積分して面積を求める。

解法1

点 $P$ が線分 $AQ$ の中点であるから、

$$ P=\left(\frac{x_A+x_Q}{2},\frac{y_A+y_Q}{2}\right) $$

である。ここで $A=(-2,2)$ とすると、$P=(x_P,y_P)$ に対して $Q=(x_Q,y_Q)$ は

$$ x_Q=2x_P+2,\qquad y_Q=2y_P-2 $$

と表される。

**(1)**

まず $P=(1,1)$ のとき、直線 $AP$ の傾きは

$$ \frac{1-2}{1-(-2)}=-\frac{1}{3} $$

である。よって、点 $A(-2,2)$ を通ることから

$$ y-2=-\frac{1}{3}(x+2) $$

すなわち

$$ y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3} $$

である。

また、$P$ は $AQ$ の中点であるから

$$ Q=(2\cdot 1+2,\ 2\cdot 1-2)=(4,0) $$

となる。

次に、一般に $P=(t,t^2)$ とすると、中点の関係より

$$ Q=(2t+2,\ 2t^2-2) $$

である。

**(2)**

$P=(t,t^2)$ における放物線 $C_1:y=x^2$ の接線は

$$ y=2tx-t^2 $$

である。

直線 $AP$ が $C_1$ の接線であるためには、この接線が点 $A(-2,2)$ を通ればよい。したがって

$$ 2=2t(-2)-t^2 $$

すなわち

$$ t^2+4t+2=0 $$

となる。これを解くと

$$ t=-2\pm\sqrt{2} $$

であるから、$x$ 座標の大きい方の点 $P$ は

$$ P=(-2+\sqrt{2},\ (-2+\sqrt{2})^2) $$

である。ここで

$$ (-2+\sqrt{2})^2=6-4\sqrt{2} $$

より

$$ P=(-2+\sqrt{2},\ 6-4\sqrt{2}) $$

となる。

このとき対応する点 $Q$ は

$$ Q=(2t+2,\ 2t^2-2) $$

に $t=-2+\sqrt{2}$ を代入して

$$ Q=(-2+2\sqrt{2},\ 10-8\sqrt{2}) $$

である。

**(3)**

点 $Q$ の座標を $(X,Y)$ とおくと、

$$ X=2t+2,\qquad Y=2t^2-2 $$

である。第1式から

$$ t=\frac{X-2}{2} $$

であるから、これを第2式に代入すると

$$ Y=2\left(\frac{X-2}{2}\right)^2-2 $$

すなわち

$$ Y=\frac{(X-2)^2}{2}-2 $$

となる。よって、点 $Q$ の描く曲線 $C_2$ は

$$ y=\frac{(x-2)^2}{2}-2 $$

すなわち

$$ y=\frac{1}{2}x^2-2x $$

である。

次に、$C_1:y=x^2$ と $C_2:y=\frac12 x^2-2x$ の交点を求める。

$$ x^2=\frac12 x^2-2x $$

より

$$ \frac12 x^2+2x=0 $$

すなわち

$$ x(x+4)=0 $$

であるから、交点の $x$ 座標は

$$ x=-4,\ 0 $$

である。

区間 $-4\le x\le 0$ では

$$ \left(\frac12 x^2-2x\right)-x^2=-\frac12 x^2-2x=-\frac12 x(x+4)>0 $$

となるので、この区間では $C_2$ が上、$C_1$ が下である。

したがって、囲まれた部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_{-4}^{0}\left\{\left(\frac12 x^2-2x\right)-x^2\right\}dx $$

$$ =\int_{-4}^{0}\left(-\frac12 x^2-2x\right)dx $$

$$ =\left[-\frac16 x^3-x^2\right]_{-4}^{0} $$

$$ =0-\left(\frac{64}{6}-16\right) =0-\left(\frac{32}{3}-\frac{48}{3}\right) =\frac{16}{3} $$

となる。

解説

この問題の本質は、点 $P$ が中点であるという条件から

$$ Q=2P-A $$

が直ちに出ることである。ここに気づけば、点 $Q$ の座標は $P$ の座標から機械的に求まる。

また、接線条件も、直線 $AP$ を直接求めて放物線と連立するより、放物線 $y=x^2$ の接線

$$ y=2tx-t^2 $$

を使って点 $A$ を代入する方が短く確実である。最後の軌跡も、$Q$ を $t$ で表して消去するだけで済むので、全体として媒介変数処理が中心の問題である。

答え

**(1)**

$$ [ア]\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3},\qquad [イ]\ (4,0),\qquad [ウ]\ (2t+2,\ 2t^2-2) $$

**(2)**

$$ [エ]\ (-2+\sqrt{2},\ 6-4\sqrt{2}),\qquad [オ]\ (-2+2\sqrt{2},\ 10-8\sqrt{2}) $$

**(3)**

$$ C_2:\ y=\frac{1}{2}x^2-2x $$

囲まれた領域の面積は

$$ \frac{16}{3} $$

である。