解説

方針・初手

平行移動した放物線の式を文字でおき，直線と連立したときに重解をもつことを使えば，接する条件が求められる。

面積は，まず $C_1$ と $C_2$ の交点を求め，その交点を境に下側の境界となる放物線が切り替わることを利用して積分する。

解法1

放物線 $C$ は

$$ y=-x^2+6 $$

であり，直線 $l$ は

$$ y=-4x+18 $$

である。

$C_1$ について

$C$ を $y$ 軸方向に $k$ だけ平行移動したものを $C_1$ とすると，

$$ C_1:\ y=-x^2+6+k $$

となる。

これが直線 $l$ と接するから，連立して得られる二次方程式は重解をもつ。

$$ -x^2+6+k=-4x+18 $$

より

$$ x^2-4x+12-k=0 $$

となるので，判別式を $0$ とおくと

$$ (-4)^2-4(12-k)=0 $$

$$ 16-48+4k=0 $$

$$ k=8 $$

したがって，

$$ C_1:\ y=-x^2+14 $$

である。

接点の $x$ 座標は重解だから，

$$ x^2-4x+4=0 $$

$$ (x-2)^2=0 $$

より $x=2$ である。よって

$$ y=-4\cdot 2+18=10 $$

だから，接点は

$$ (2,10) $$

である。

$C_2$ について

$C$ を $x$ 軸方向に $a$ だけ平行移動したものを $C_2$ とすると，

$$ C_2:\ y=-(x-a)^2+6 $$

となる。

これが直線 $l$ と接するから，

$$ -(x-a)^2+6=-4x+18 $$

$$ x^2-(2a+4)x+a^2+12=0 $$

が重解をもつ。

したがって判別式を $0$ とおくと，

$$ {-(2a+4)}^2-4(a^2+12)=0 $$

$$ (2a+4)^2-4(a^2+12)=0 $$

$$ 4a^2+16a+16-4a^2-48=0 $$

$$ 16a-32=0 $$

$$ a=2 $$

よって

$$ C_2:\ y=-(x-2)^2+6=-x^2+4x+2 $$

である。

接点の $x$ 座標は重解だから，

$$ x^2-8x+16=0 $$

$$ (x-4)^2=0 $$

より $x=4$ である。したがって

$$ y=-4\cdot 4+18=2 $$

より，接点は

$$ (4,2) $$

である。

面積について

まず $C_1$ と $C_2$ の交点を求める。

$$ -x^2+14=-x^2+4x+2 $$

$$ 4x=12 $$

$$ x=3 $$

このとき

$$ y=-4\cdot 3+18=6 $$

ではなく，放物線に代入して

$$ y=-3^2+14=5 $$

より，交点は $(3,5)$ である。

また，

$$ l-C_1=(-4x+18)-(-x^2+14)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geqq 0 $$

$$ l-C_2=(-4x+18)-(-x^2+4x+2)=x^2-8x+16=(x-4)^2\geqq 0 $$

であるから，直線 $l$ は $C_1,\ C_2$ の上にある。

さらに，$2\leqq x\leqq 3$ では $C_1$ が $C_2$ より上にあり，$3\leqq x\leqq 4$ では $C_2$ が $C_1$ より上にある。したがって，有界部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_2^3{l-C_1},dx+\int_3^4{l-C_2},dx $$

で与えられる。

よって

$$ \begin{aligned} S&=\int_2^3{(-4x+18)-(-x^2+14)},dx+\int_3^4{(-4x+18)-(-x^2+4x+2)},dx\\ &=\int_2^3 (x-2)^2,dx+\int_3^4 (x-4)^2,dx\\ &=\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_2^3+\left[\frac{(x-4)^3}{3}\right]_3^4\\ &=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\\ &=\frac{2}{3} \end{aligned} $$

解説

接する条件は「連立して得られる二次方程式が重解をもつ」と見るのが基本である。$y$ 方向の平行移動では定数項が変わり，$x$ 方向の平行移動では $x$ を $x-a$ に置き換える。

面積では，$C_1$ と $C_2$ のどちらが下側の境界になるかが途中で入れ替わるので，交点 $x=3$ で区間を分けるのが要点である。

答え

$$ [ケ]\ (2,10) $$

$$ [コ]\ (4,2) $$

$$ [サ]\ \frac{2}{3} $$