解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=x^3-8x^2+20x-16 $$

を因数分解し、$f'(x),f''(x)$ を調べて概形を決める。

（2） は

$$ C':y=-f(-x) $$

を求めて、区間 $0\le x\le 3$ における上下関係を確認してから積分する。

（3） は直線 $y=ax$ との共有点を

$$ \frac{f(x)}{x}=a \qquad (x\neq 0) $$

とみて、関数

$$ \phi(x)=\frac{f(x)}{x} $$

と水平線 $y=a$ の交点個数に帰着する。

解法1

（1） 曲線 $C$ の概形

まず

$$ f(x)=x^3-8x^2+20x-16=(x-2)^2(x-4) $$

である。

したがって $x$ 軸との共有点は

$$ (2,0),\ (4,0) $$

であり、$x=2$ は重解なので $x$ 軸に接する。

次に導関数を求めると、

$$ f'(x)=3x^2-16x+20=(x-2)(3x-10) $$

であるから、

$$ f'(x)>0 \quad (x<2,\ x>\tfrac{10}{3}), $$

$$ f'(x)<0 \quad (2<x<\tfrac{10}{3}) $$

となる。

よって $x=2$ で極大、$x=\dfrac{10}{3}$ で極小をとる。

その値は

$$ f(2)=0, \qquad f\left(\frac{10}{3}\right) =\left(\frac{4}{3}\right)^2\left(-\frac{2}{3}\right) =-\frac{32}{27} $$

である。

さらに

$$ f''(x)=6x-16 $$

より、変曲点は

$$ x=\frac{8}{3} $$

であり、

$$ f\left(\frac{8}{3}\right) =\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(-\frac{4}{3}\right) =-\frac{16}{27} $$

だから、変曲点は

$$ \left(\frac{8}{3},-\frac{16}{27}\right) $$

である。

以上より、$C$ は

• $(2,0)$ で $x$ 軸に接して極大をとる
• $\left(\dfrac{10}{3},-\dfrac{32}{27}\right)$ で極小をとる
• $(4,0)$ で $x$ 軸と交わる
• $\left(\dfrac{8}{3},-\dfrac{16}{27}\right)$ で変曲する

という概形である。

（2） 面積

$$ C':y=-f(-x) $$

であるから、

$$ f(-x)=-x^3-8x^2-20x-16 $$

より

$$ C':y=x^3+8x^2+20x+16 $$

となる。

この式を $g(x)$ とおくと、

$$ g(x)-f(x) =(x^3+8x^2+20x+16)-(x^3-8x^2+20x-16) =16x^2+32 $$

であるから、$0\le x\le 3$ では常に $C'$ が $C$ の上側にある。

したがって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^3 \{g(x)-f(x)\}\,dx =\int_0^3 (16x^2+32)\,dx $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} S &=\left[\frac{16}{3}x^3+32x\right]_0^3 \\ &=\frac{16}{3}\cdot 27+96 \\ &=144+96 \\ &=240 \end{aligned} $$

となる。

（3） 共有点の個数

直線 $y=ax$ と曲線 $C$ の共有点は

$$ f(x)=ax $$

を満たす点である。

ここで

$$ f(0)=-16\neq 0 $$

だから、共有点では $x\neq 0$ である。そこで

$$ \phi(x)=\frac{f(x)}{x} =x^2-8x+20-\frac{16}{x} \qquad (x\neq 0) $$

とおくと、共有点の個数は方程式

$$ \phi(x)=a $$

の実数解の個数に一致する。

まず微分すると、

$$ \phi'(x)=2x-8+\frac{16}{x^2} =\frac{2x^3-8x^2+16}{x^2} =\frac{2(x-2)(x^2-2x-4)}{x^2} $$

である。

したがって

$$ \phi'(x)=0 \iff x=2,\ 1-\sqrt5,\ 1+\sqrt5 $$

である。

次に極値を求めると、

$$ \phi(2)=0 $$

$$ \phi(1-\sqrt5)=22+10\sqrt5 $$

$$ \phi(1+\sqrt5)=22-10\sqrt5 $$

である。

また

$$ \lim_{x\to -\infty}\phi(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^-}\phi(x)=+\infty, $$

$$ \lim_{x\to 0^+}\phi(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty}\phi(x)=+\infty $$

であるから、$\phi(x)$ の概形より、水平線 $y=a$ との交点個数は次の通りである。

$$ \begin{cases} 1\text{個} & \left(a<22-10\sqrt5,\ \ 0<a<22+10\sqrt5\right),\\[2mm] 2\text{個} & \left(a=22-10\sqrt5,\ \ a=0,\ \ a=22+10\sqrt5\right),\\[2mm] 3\text{個} & \left(22-10\sqrt5<a<0,\ \ a>22+10\sqrt5\right). \end{cases} $$

解説

この問題では、まず

$$ f(x)=(x-2)^2(x-4) $$

と因数分解できることが重要である。これにより、$x$ 軸との位置関係がすぐに見える。

また、直線 $y=ax$ との共有点個数は、三次方程式を直接追うよりも

$$ \phi(x)=\frac{f(x)}{x} $$

を考え、水平線との交点個数に読み替えると整理しやすい。$x=0$ が共有点にならないことを最初に確認するのがポイントである。

答え

**(1)**

$C$ は $(2,0)$ で $x$ 軸に接して極大をとり、

$$ \left(\frac{10}{3},-\frac{32}{27}\right) $$

で極小をとる。変曲点は

$$ \left(\frac{8}{3},-\frac{16}{27}\right) $$

であり、$(4,0)$ で $x$ 軸と交わる。

**(2)**

面積は

$$ 240 $$

である。

**(3)**

共有点の個数は

$$ \begin{cases} 1\text{個} & \left(a<22-10\sqrt5,\ \ 0<a<22+10\sqrt5\right),\\[2mm] 2\text{個} & \left(a=22-10\sqrt5,\ \ a=0,\ \ a=22+10\sqrt5\right),\\[2mm] 3\text{個} & \left(22-10\sqrt5<a<0,\ \ a>22+10\sqrt5\right). \end{cases} $$