解説

方針・初手

絶対値を含むので、まず

$$ y=\left|\frac{3}{4}x^2-3\right|-2 $$

を場合分けして 2 つの放物線として見る。

そのうえで、直線 $y=x$ との交点を求め、区間ごとに上下関係を調べて面積を積分で求める。

解法1

$\dfrac{3}{4}x^2-3=0$ となるのは $x=\pm2$ であるから、

$$ y=\left|\frac{3}{4}x^2-3\right|-2= \begin{cases} 1-\frac{3}{4}x^2 & (|x|\leqq 2),\\[4pt] \frac{3}{4}x^2-5 & (|x|\geqq 2) \end{cases} $$

となる。

まず、直線 $y=x$ との交点を求める。

**(i)**

$|x|\leqq2$ のとき

$$ x=1-\frac{3}{4}x^2 $$

より

$$ 3x^2+4x-4=0 $$

となるから、

$$ x=\frac{-4\pm8}{6}=-2,\ \frac{2}{3} $$

を得る。

**(ii)**

$|x|\geqq2$ のとき

$$ x=\frac{3}{4}x^2-5 $$

より

$$ 3x^2-4x-20=0 $$

となるから、

$$ x=\frac{4\pm16}{6}=-2,\ \frac{10}{3} $$

を得る。

したがって、交点は

$$ (-2,-2),\ \left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right),\ \left(\frac{10}{3},\frac{10}{3}\right) $$

の 3 点である。

次に上下関係を調べる。

$-2<x<\dfrac{2}{3}$ では

$$ \left(1-\frac{3}{4}x^2\right)-x = -\frac{3}{4}\left(x-\frac{2}{3}\right)(x+2)>0 $$

であるから、放物線 $y=1-\dfrac{3}{4}x^2$ が直線 $y=x$ の上にある。

$\dfrac{2}{3}<x<2$ では逆に $y=x$ が上にある。

また、$2<x<\dfrac{10}{3}$ では

$$ x-\left(\frac{3}{4}x^2-5\right) = -\frac{3}{4}\left(x-\frac{10}{3}\right)(x+2)>0 $$

であるから、この区間でも $y=x$ が上にある。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S= \int_{-2}^{2/3}\left\{\left(1-\frac{3}{4}x^2\right)-x\right\},dx +\int_{2/3}^{2}\left\{x-\left(1-\frac{3}{4}x^2\right)\right\},dx +\int_{2}^{10/3}\left\{x-\left(\frac{3}{4}x^2-5\right)\right\},dx $$

である。

それぞれ計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2/3}\left(1-\frac{3}{4}x^2-x\right),dx &= \left[x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{4}\right]_{-2}^{2/3} =\frac{64}{27}, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{2/3}^{2}\left(x-1+\frac{3}{4}x^2\right),dx &= \left[\frac{x^2}{2}-x+\frac{x^3}{4}\right]_{2/3}^{2} =\frac{64}{27}, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{2}^{10/3}\left(x-\frac{3}{4}x^2+5\right),dx &= \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{4}+5x\right]_{2}^{10/3} =\frac{80}{27}. \end{aligned} $$

したがって、

$$ S=\frac{64}{27}+\frac{64}{27}+\frac{80}{27} =\frac{208}{27} $$

となる。

解説

絶対値を含むグラフは、まず中身の符号が変わる点を調べて式を分けるのが基本である。

この問題では $x=\pm2$ で式が切り替わるため、そこでグラフの形が変わる。さらに直線との交点が 3 つあるので、囲まれる部分は 2 つに分かれる。したがって、交点だけ求めて終わらず、各区間でどちらが上にあるかを確認してから積分することが重要である。

答え

面積は

$$ \frac{208}{27} $$

である。