解説

方針・初手

まず，$|x|\le 2$ の範囲では

$$ \frac{3}{4}x^2-3\le 0 $$

であるから，絶対値を外して上側の境界を簡単な放物線に直す。

そのうえで，直線 $y=x$ とその放物線の交点を求め，直線の上側かつ放物線の下側にある部分の面積を積分で求める。

解法1

与えられた連立不等式は

$$ |x|\le 2,\qquad y\ge x,\qquad y\le \left|\frac{3}{4}x^2-3\right|-2 $$

である。

ここで $|x|\le 2$ より $x^2\le 4$ なので，

$$ \frac{3}{4}x^2-3\le \frac{3}{4}\cdot 4-3=0 $$

となる。したがって

$$ \left|\frac{3}{4}x^2-3\right|=3-\frac{3}{4}x^2 $$

であり，不等式は

$$ |x|\le 2,\qquad y\ge x,\qquad y\le 1-\frac{3}{4}x^2 $$

となる。

よって求める領域は，$-2\le x\le 2$ の範囲で，直線 $y=x$ と放物線

$$ y=1-\frac{3}{4}x^2 $$

にはさまれた部分である。ただし実際に領域が存在するのは

$$ x\le 1-\frac{3}{4}x^2 $$

を満たす範囲に限られる。

これを解くと，

$$ \frac{3}{4}x^2+x-1\le 0 $$

すなわち

$$ 3x^2+4x-4\le 0 $$

である。方程式

$$ 3x^2+4x-4=0 $$

の解は

$$ x=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{6} =\frac{-4\pm 8}{6} $$

より

$$ x=-2,\qquad x=\frac{2}{3} $$

である。したがって領域が存在するのは

$$ -2\le x\le \frac{2}{3} $$

である。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2}^{2/3}\left\{\left(1-\frac{3}{4}x^2\right)-x\right\},dx $$

となる。

これを計算すると，

$$ \begin{aligned} S &=\int_{-2}^{2/3}\left(1-\frac{3}{4}x^2-x\right),dx \\ &=\left[x-\frac{1}{4}x^3-\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{2/3} \end{aligned} $$

である。

$x=\dfrac{2}{3}$ のとき

$$ \frac{2}{3}-\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{27}-\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{9} =\frac{2}{3}-\frac{2}{27}-\frac{2}{9} =\frac{10}{27} $$

また $x=-2$ のとき

$$ -2-\frac{1}{4}(-8)-\frac{1}{2}\cdot 4 =-2+2-2 =-2 $$

であるから，

$$ S=\frac{10}{27}-(-2)=\frac{64}{27} $$

となる。

解説

この問題の要点は，絶対値をそのまま扱わず，先に $|x|\le 2$ という条件を用いて中身の符号を確定することである。

すると上側の境界は単なる放物線 $y=1-\dfrac{3}{4}x^2$ になり，あとはこの放物線と直線 $y=x$ の位置関係を見るだけでよい。面積は「上の曲線 $-$ 下の曲線」を交点の間で積分すれば求まる。

答え

$$ \frac{64}{27} $$