解説

方針・初手

まず、放物線 $C:y=\dfrac12 x^2$ の接線の式を、点 $P,Q$ においてそれぞれ求める。 その2本の接線の交点が $A(\alpha,\beta)$ であるから、連立して $\alpha,\beta$ を求める。

面積 $S$ は、放物線と接線との差を積分して求める。 また、$PA\perp QA$ は、それぞれの直線の傾きの積が $-1$ であることに言い換えられる。

解法1

放物線

$$ y=\frac12 x^2 $$

の導関数は

$$ y'=x $$

である。したがって、$x=2p,\ 2q$ における接線の傾きはそれぞれ $2p,\ 2q$ である。

点 $P(2p,2p^2)$ における接線は

$$ y-2p^2=2p(x-2p) $$

より

$$ y=2px-2p^2 $$

である。

同様に、点 $Q(2q,2q^2)$ における接線は

$$ y-2q^2=2q(x-2q) $$

より

$$ y=2qx-2q^2 $$

である。

（1） $\alpha,\beta$ を求める

交点 $A(\alpha,\beta)$ は、これら2直線の連立で求まる。

$$ 2px-2p^2=2qx-2q^2 $$

これを整理すると

$$ 2(p-q)x=2(p^2-q^2)=2(p-q)(p+q) $$

となるので、$p\neq q$ より

$$ x=p+q $$

である。よって

$$ \alpha=p+q $$

を得る。

さらに、これを接線の式に代入すると

$$ \beta=2p(p+q)-2p^2=2pq $$

である。

したがって、

$$ \alpha=p+q,\qquad \beta=2pq $$

となる。

（2） $S$ を求める

接線の交点の $x$ 座標は $\alpha=p+q$ である。 また、$p<q$ だから

$$ 2p<p+q<2q $$

である。

したがって、囲まれた部分の面積は

$$ S=\int_{2p}^{p+q}\left(\frac12 x^2-(2px-2p^2)\right),dx +\int_{p+q}^{2q}\left(\frac12 x^2-(2qx-2q^2)\right),dx $$

である。

第1項の被積分関数は

$$ \frac12 x^2-2px+2p^2 =\frac12 (x-2p)^2 $$

であるから、

$$ \int_{2p}^{p+q}\left(\frac12 x^2-(2px-2p^2)\right),dx =\frac12\int_{2p}^{p+q}(x-2p)^2,dx $$

$$ =\frac12\left[\frac{(x-2p)^3}{3}\right]_{2p}^{p+q} =\frac{(q-p)^3}{6} $$

となる。

同様に第2項は

$$ \frac12 x^2-2qx+2q^2 =\frac12 (x-2q)^2 $$

より

$$ \int_{p+q}^{2q}\left(\frac12 x^2-(2qx-2q^2)\right),dx =\frac12\int_{p+q}^{2q}(x-2q)^2,dx $$

$$ =\frac12\left[\frac{(x-2q)^3}{3}\right]_{p+q}^{2q} =\frac{(q-p)^3}{6} $$

である。

よって

$$ S=\frac{(q-p)^3}{6}+\frac{(q-p)^3}{6} =\frac{(q-p)^3}{3} $$

となる。

（3） $S=9$ かつ $PA\perp QA$ のとき

$PA$ は点 $P$ における接線、$QA$ は点 $Q$ における接線であるから、その傾きはそれぞれ $2p,\ 2q$ である。

$PA\perp QA$ より

$$ (2p)(2q)=-1 $$

すなわち

$$ 4pq=-1,\qquad pq=-\frac14 $$

である。

また、$S=9$ と （2） の結果より

$$ \frac{(q-p)^3}{3}=9 $$

となるので

$$ (q-p)^3=27 $$

$p<q$ であるから

$$ q-p=3 $$

である。

ここで

$$ \alpha=p+q,\qquad \beta=2pq $$

であったから、まず

$$ \beta=2\cdot\left(-\frac14\right)=-\frac12 $$

を得る。

次に $\alpha=p+q$ について、

$$ (p+q)^2=(q-p)^2+4pq $$

より

$$ \alpha^2=3^2+4\left(-\frac14\right)=9-1=8 $$

したがって

$$ \alpha=\pm 2\sqrt2 $$

である。

ゆえに

$$ \alpha=\pm 2\sqrt2,\qquad \beta=-\frac12 $$

となる。

解説

この問題の本質は、放物線 $y=\dfrac12 x^2$ の接線の式を正確に扱うことである。 接点の $x$ 座標がそのまま接線の傾きになるので、交点の計算も垂直条件も整理しやすい。

面積については、放物線が上に凸であるため、2本の接線は放物線の下側にある。したがって、面積は「放物線から接線を引いたもの」を区間ごとに積分すればよい。 被積分関数がそれぞれ $\dfrac12(x-2p)^2,\ \dfrac12(x-2q)^2$ と平方の形になるため、計算が非常に簡潔になる。

答え

**(1)**

$$ \alpha=p+q,\qquad \beta=2pq $$

**(2)**

$$ S=\frac{(q-p)^3}{3} $$

**(3)**

$$ \alpha=\pm 2\sqrt2,\qquad \beta=-\frac12 $$