解説

方針・初手

共有点 $(2,4)$ において接線が一致するので、まず $C_2$ が点 $(2,4)$ を通る条件と、両放物線の微分係数が $x=2$ で一致する条件を立てる。

$a,b$ が求まれば、$C_1,C_2$ と $y$ 軸で囲まれる部分は $0\le x\le 2$ にあるので、上側と下側の関数を確認して面積を積分で求める。

解法1

$C_1$ は

$$ y=x^2 $$

であり、点 $(2,4)$ を通ることは明らかである。

一方、$C_2$ は

$$ y=-(x-a)^2+b $$

であるから、点 $(2,4)$ を通る条件は

$$ -(2-a)^2+b=4 $$

である。

次に、接線が一致するので、$x=2$ における傾きも一致する。

$C_1$ を微分すると

$$ y'=2x $$

より、$x=2$ での傾きは

$$ 2\cdot 2=4 $$

である。

$C_2$ を微分すると

$$ y'=-2(x-a) $$

より、$x=2$ での傾きは

$$ -2(2-a) $$

である。

したがって

$$ -2(2-a)=4 $$

となり、

$$ a=4 $$

を得る。

これを

$$ -(2-a)^2+b=4 $$

に代入すると

$$ -(2-4)^2+b=4 $$

$$ -4+b=4 $$

$$ b=8 $$

である。

よって

$$ C_2:\ y=-(x-4)^2+8 $$

となる。

次に、囲まれる部分の面積を求める。

$C_1$ と $C_2$ の交点を調べるため、

$$ x^2=-(x-4)^2+8 $$

とおくと、

$$ x^2=-\left(x^2-8x+16\right)+8 $$

$$ x^2=-x^2+8x-8 $$

$$ 2x^2-8x+8=0 $$

$$ x^2-4x+4=0 $$

$$ (x-2)^2=0 $$

となるので、両曲線は $x=2$ でただ1点接している。

また、$x=0$ では

$$ C_1: y=0,\qquad C_2: y=-(0-4)^2+8=-8 $$

であるから、$0\le x\le 2$ では $C_1$ が上側、$C_2$ が下側である。

したがって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^2 \left\{x^2-\left(-(x-4)^2+8\right)\right\}dx $$

である。

被積分関数を整理すると、

$$ x^2+(x-4)^2-8 = x^2+x^2-8x+16-8 =2x^2-8x+8 $$

よって

$$ S=\int_0^2 (2x^2-8x+8),dx $$

$$ =2\int_0^2 (x-2)^2,dx $$

$$ =2\left[\frac{(x-2)^3}{3}\right]_0^2 $$

$$ =2\left(0-\left(-\frac{8}{3}\right)\right) =\frac{16}{3} $$

となる。

解説

接線が一致するという条件は、「同じ点を通る」ことに加えて「その点での傾きが等しい」ことを意味する。この問題では、その2条件から $a,b$ が一意に定まる。

面積については、交点が $(2,4)$ のみであり、さらに $y$ 軸が境界に入るので、積分区間は $0$ から $2$ になる。どちらが上側の曲線かを $x=0$ などで確認してから積分するのが確実である。

答え

$a=4,\ b=8$

囲まれる部分の面積は

$$ \frac{16}{3} $$

である。